AH HD BG~GÏÏ
d'où, à cause des parallèles.
Air £Cr AIV AK
Si donc nous menons G'E et H'E, les triangles BG'E, AH'E seront semblables, comme ayant un angle égal, compris entre côtés proportionnels.
Par suite, les angles BEG\ AEH' sont égaux, et G'EH est une ligne droite; donc G'H'HG est un quadrilatère plan; etc.
3** Soit I le point de rencontre des droites EP, GH. On a
KI = HH', EF==I)D'; d'où, à cause du triangle ADD',
El AH BG
if""hd"~gc'
cl, de même,
m AE DF
ÏG~EB""FC '
Remarques. — I. Chacune des droites EF,GH est dans un plan psirallèle aux deux côtés qu^elle ne rencontre pas.
II. Ce théorème est la généralisation d'une propriété relative aux quadrilatères plans (Liv. III, Th. LVI).
Théorème IX
Tout plan transversal détermine^ sur les quatre côtés d'un quadrilatère gauche y huit segments tels, que le produit de quatre segments non consécutifs est égal au produit des quatre autres.
316 TRÉOKÈHES ET PROBLÈMES
Soit le quadrilatère gauche ABCD, dont les côtés sont coupés par on même plan P, aux points E, F, G, H. Je dis que l'on «
ar.df.cg.be
=» AE.bg. CF. DH.
Soit M le point de rencoo-
ire de la diagonale BD avec
le plan P : les transversales
FG, H E concourent en H ; donc, par le Théorème de Ptolémée :
AH.DH.BE=>AE.BH.mi, DP.CG.BH=DH.BG.CF.
Uultiplianl membre à membre, et supprimant DM et BM, od obtient la relation demandée.
Remarques. — I. La réciproque de ce théorème est vraie. Elle renferme, comme cas particulier, le Théorème VII.
11. Si le plan P était parallèle 1 la diagonale BD, on aurait AH HD DF CF Â¥ "^ ÊB ' BG ~ CG ' etc.
Dans tout quadrilatère gauche, les mitieux des côté* sont le* tommels d'un parallélogramme.
La démonstration de ce Théorème est la même que celle du Tliémcme IV, Liv. i.
Ttaè«rèn« XI.
Dans tout quadrilatère gauche, le point de rencontre des droites qui joignent le» milieux des cotés opposés est situé au milieu de la droite gui Joint les milieux des diagonales.
(Voyez Th. X, Liv. I.)
DE GÊOHËTRIE ÉLÉMENTAIRE.
Tbé«vèMM SU.
Tout plan tratuversal XY délermine, lur te» côté» d'un triangle ABC, six segments tell, que le produit de trois segments non con' sécutifs est égal au prodtàt des trois taitres.
Le plan XY coupe le plan ABC suivant une transversale MN; et les points de rencontre de celte droite , avec les eàléi du triangle, sont ceux où ces côtés percent le plan XY. L» proposition est donc ramenée au Théorème de Ptolémée.
TfeéarèMe XIII.
Si les côté» d'un polygone gauche sont coupé» par un plan transversal, le produit des segments non consécutifs est égal au produit des autres segments.
(Voyez Th. XIV, Liv. III.)
Remarque. Cette proposition est la généralisation du Théorème XII.
Si, par une droite quelconque XY, et par les différents sommets d'un polygone gauche ABC... aytml vn nombre impair de côté», on fait passer des plans qui partagent les côtés respectivement opposés à ces sommets, chacun en deux segments ; le produit des segments non consécutifs est égal au produit des autres segment».
Projetons la figure sur un plan P, perpendiculaire à XY; et soit A'B'C'D'E' la projection du polygone gauche. Les
Ht TitottaCS CT MUMLteB
tnee* 4n diffiérfou plant AXV, BXY^ moi dei Aviies At). 6*0..., |M*MDi toula par m ntee poini O, projectioa de XY. De phn, 1rs potols «*, ¥ ..., où M> masTemles A'O, B'0...,eoiipeni les cAtés CD', D'E', .... du polygone pUn, soai les projeelioas des points m, b, ,.,, où les plans AXY, BXY..., mm» reneonirés par les edtâs CD. DE..., do poly^we gaudie.
Cela posé, les segmenis détenninés sur un eM ^/màtmape du polygone gauche, par nemple sur le tfité CD, sont prafwlîonnels aux segnienca déterminés sur U projection de ee eàtê, attendu que CC'.DD', aa' sont trois parallèles. Or. dans le polygone plan,
A'<f . BTff'. Co'.D'fc. B V = AV. «6. D V. CV. BV ; (Th. XV, Liv. III). Donc aussi, dans le polygooe gauche, Ad.Be.Ca.Db.Ee=ïAe.E6.Da.Ce.Bd.
C'est ee quil fatlail démontrer.
Remarque. Le théorème qui |H^céde peut, de la même manière, se déduire du Théorème XIV (Liv. III).
TkéartMe ST.
Loriqu'une droite AB ett partagée en deux legment» AC, BC proporlionneit aux nombres h, a; n, det pomtt A, B, C on abaisMe, tvr un plan quelconque XY, dei perpendicidairei AA', BB', ce, on a
(a-^-b)CC'^a.\A' -i-b-W.
O^lle proposition se démontre, ji fort peu près, comme le Théorème I du Livre III.
Théorène XVI.
Étant donné un système de points A, B, C..., on peut toujours déterminer un point 0 tel, que sa distance à un plan quelconque XY soit égale à la moyenne arithmétique entre les distances, au même plan, des points A, B, C...
(Voyez Th. Il, Liv. III.)
La somme des carrés des distances de n points A, B, C..., à un point quelconque S, est égale à la somme des carrés des distances des mêmes points à leur centre 0, augmentée de n fois le carré deSO.
(Voyez Th. ni, Liv. III.)
Théorème XTIII.
Le lieu géométrique des points tels que la somme des carrés des distances de chacun d'eux, à des points donnés A, B, C..., soit constante, est une sphère qui a pour centre le centre 0 des moyennes distances des points A, B, G...
(Voyez Th. IV, Liv. III.)
Théorème SIX.
Si, dans un angle polyèdre convexe, dont toutes les faces, excepté une, sont constantes, on fait varier un seul des angles dièdres opposés à cette face, de manière que l'angle polyèdre reste convexe; la face variable augmentera si l'angle dièdre augmente, et elle diminuera s'il diminue.
Admettons, par exemple, que dans Tangle polyèdre S, supposé convexe, on fasse varier Tangle dièdre SD, opposé à la face ASB; admettons, de plus, que les autres angles dièdres SC , SE, SF
S3fl TQËOHÈHES ET PROBLÈMES
n cprouvrni aucun cliangcmrni, ei qu'il en soit de même i l'égsrd des faces BSC,CSD...,FSA.
Si l'on mène les plans ASD, BSD. on décompose l'angle polyèdre donnée en nn angle trièdre SABD, et en deux angles polyèdres SAFED, SBCD. Or, il résulie, (les hypothèses précédentes, que ces derniers angles sont constants. Par suite, la variation de l'anj^le dièdre SD, dans l'angle polyèdre donné, est égaie à la variation de l'angle dièdre SD, dans l'angle trièdre SABD. D'aillenrs, si un angle trièdre SABD a deux Taccs constantes ASD, BSD, la troisième face ASB augmente ou diminue suivant que l'angle dièdre opposé augmente ou diminue; donc, etc.
Remurque. Au lieu de supposer que l'angle dièdre SD varie seul , on pourrait faire varier successivement plusieurs des angles dièdres opposés à la face ASB. Par conséquent : si, dans un angle polyèdre convexe, dont toutes les faces, excepté une, sont constantes, on fait varier, dans le même sens, quelques-uns des angles dièdres opposés à cette face, de manière que l'angle polyèdre reste convexe; la face variable augmentera si les angles dièdres ont augmenté, et elle diminuera s'ils ont diminué.
Si l'on fait varier, d'une manière quelconque, les angles dièdrrt d'un polyèdre convexe dont tes faces sont constantes ; que l'on mette k signe -t- sur l'arête de cltaque dièdre qui augmente, le signe — sur t'aréte de clmque dièdre qui diminue, puis que l'on fasse le tour entier de l'angle polyèdre; on trouvera au moins quatre variations de signes.
II faut que l'angle polyèdre considéré ait plus de trois faces, sans quoi l'invariabiliiéde celles-ci entraînerait rinvariabilité des dièdres, Dr plus, on suppose que l'angle polyèdre reste convexe.
DB GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 5tl
aprèa comme avant la variation de ses angles dièdres. Cela posé :
1* On ne peut pas supposer que tous les dièdres aient varié dans le même sens ; car alors , diaprés le théorème précédent , il y aurait eu variation d'au moins une des faces.
3* En faisant le tour de Fangle polyèdre, on ne trouvera pas une seule série de signes +, suivie d'une seule série de signes*--^
En effet, supposons que, dans Tangle polyèdre S, les arêtes SB, SA, SP soient affectées du signe -h, les autres étant affectées du signe — . Si nous menons le plan diagonal BSE, qui laissa d'un côté une série de signes +, et, de I autre c6té, une série de signes — ; il résulte, du théorème précédent, que Tangle plan BSE aura, tout à la fois, augmenté et diminué; ce qui est absurde.
3** D'après ce qui vient d'être dit, en faisant le tour entier de l'angle polyèdre, on trouvera plus de, deux variations de signes. Et, comme on doit revenir à l'arête d'où Ton était parti, il s'ensuit que le nombre des variations de signes est pair; donc il est au moins égal à A.
rroMène I.
Étant donnés un plan XY et deux points A, B, situés d'un même côté de ce plan y trouver, sur XY, un point M tel, que la somme des distances AM, BM soit un minimum.
Construisons le point B', symétrique du point B, par rapport au plan XY; menons la droite AB', et soit M le point où elle perce XY. M est le point demandé. (Voyez Livre I, Problème X.)
TBÊOBÈHBS ET PftOBLÊMEK
ÉUêM domnés un phn \Y tt deux potHU A , B, iitmé» de eôti et d'autre de ee plan ; tioucer, mr XY, ua point M tel, que la différence det diitances AM , BH wtf un maaâmum.
SoiiB' le point s>-méuique de B, par rapport à XY. Menons la droite AB' : le point M , où eUe perce le plan, est le point demandé. (Voyex Liv. 1 , Prob. XVI.)
Trourer, tur une droite donnée AB, un point tel, que la wmme de U-* diitance» iiur facet VXY, XVZ d'un angle dièdre donné, MOit un minimum.
Soient A , B les points où la droite AB perce les faees. Prenons, sur eeiie ligne, deux points quelconipies M, H'; abaissons MP| M'P* perpendiculaires sur la première face VXY, puis MQ, M'Q' perpendiculaires sur la seconde face \YZ : ces droites déiermincnt les projeclioiis APP', BQ'Q de AB. Enfin, menons MB parallèle à PP', et M'S pnrallèle à QQ'. Alin de connaiire laquelle est la piu^ grande des sommes MP+MQ, M'P -i-M'Q', {■osons
MP + MQ ^ M'P' - M'Q-.
P R = MP, et de QS =- M'Q', cette relation se NS ^ M'R.
Or, les triangles rectangles MRM', MSM' oui rhypotcnuse
A rause di réduit à
DE GÉOMÉTRIE ÉLËMEKTAIRE. 333
commune. Donc, d'après une propriété connue, suivant que l'angle aigu MM'S est plus grand ou plus petit (|ue l'angle aigu M'MR[C.,74].on8
