MS ^ M'R

ou

MP + MQ^ M'P'-^M'Q'.

It résulte, de cette discussion, que la gomme MP + MQ e«t un mitàmum, quand le point M te confond avec la trace de la droite AB sur celui de» deux plant VXY, XYZ qui fait le plut grand angle avec cette droite. (Voyez Prob. XVII, Liv. I.)

Couper, par un plan, «n ongle tètraèA'e SABCD, de manière que la section mnpq soit un para'lélogramme.

D'après un iliéorèmcconfiu, les plans BSC, ASD, passant par deux droîles parallèles np, mq, se coupent suivant une parallèle SF à CCS droites. De même, l'interscclion SE des deux autres faces de l'angle potycdre rst parallèle ii mn, pq. Coiiséqucmment, pour résoudre le problème proposé, il suffît de couper par un plan quelconque, parallèle à ESF, l'angle donné.

Couper, par un plan, un angle triédre trirectangle SABC, île manière que la tettion MNP toil érjale à un triaw/le donné.

S9I TBËORÈMEii ET PHOBLËHES

Du sommet N, abaissons NN' perpendiculaire au cAlé HP, et menons SN' : eetle droile, projection de NN' sur le plan CSA, est perpendiculaire il M P. En même temps, la droile NN' sera, sur le plan MNP, la projection de t'aréte indéfinie SB, attendu que le plan SNN', évidemment perpendiculaire h la droite PH, est perpendiculaire à MNP.

De même, les arêtes SA, SC ont pour projections, sur ce dernier plan, les perpendiculaires MM', PP' abaissées, des sommets M, P, sur les c6tés opposés.Eo d'autres termes :

Si l'on coupe, par un plan quelconque, un anijle triédre trirectangle, let arêtes te projettent suivant les hauteurs du triangle déterminé par le plan ; et le sommet de l'angle Irtèdre a pour projection le point de rencontre des trois hauteurs.

Observon<i, niainiensnt, qu'il est facile de construire les trois (.riangles rcctanfties MSP, MSN, NSP; cardans MSP, par exemple , on connaît l'hypolénuse HP, ainsi que le pied N' de la perpendiculaire abaif^sée du sommet S sur l'hypoténuse. Le problème peut donc èlre regardé comme résolu (*).

Étant donnés deux droites fixes X , Y e( un angle dièdre D , que l'on fait tourner autour de l'arête G , supposée fixe , prouver qu'il existe sur la première droite un point fixe \, et sur la seconde droite un point fixe B, tels que a , b étant les points où cet de%ix droites percent les faces de l'angle dièdre, dans une position quelconque, le rectangle des segments Aa, Bb soit constant.

{') Traité iUmenlairt de Géomilrie deccHptive, i' édition, )" |>arfir

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 5iS

Projetons toute la flgure sur un plan P, perpendiculaire à Tarète C. Ceue droite aura pour projection un point fixe c; Fangle dièdre sera projeté suivant un angle plan , de grandeur constante» mais mobile autour du sommet c; enfin le système des droites X, Y aura pour projection un angle fixe xoy. D*un autre côté, les segments de ces deux droites sont proportionnels aux segments interceptés sur les côtés de Tangle. Si donc le rectangle de ces derniers est constant, le rectangle des deux autres le sera aussi; et réciproquement. Or, d'après le Problème LXX du Livre 111 Je premier rectangle est constant: donc, etc.

rr«blèMe ¥11.

Quel est le lieu des points également distants de deux droites qui se coupent ?

Abaissons , d'un point quelconque M du lieu , les perpendiculaires MP, MQ aux droites données AB, AG; abaissons aussi MM' perpendiculaire au plan ABC; enfin, menons PM', QM'.

D après Ténoncé , les droites MP, MQ doivent être égales entre elles; donc les triangles rectangles MM'P, MM'Q sont égaux, et MT=M'Q.

Le point M doit donc être situé de manière que sa projection M', sur le plan ABC, soit également distante des côtés de Tangle ABC. Par conséquent, le lieti demandé se compose du système de deux plans, perpendiculaires au plan des droites données, et ayant pour traces , sur ce/ut-ci , les bissectrices des angles formés par ces droites.

Problème VIII.

Quel est le lieu des points tels, que. la différence dfis carrés des distances de chacun^ à deux points donnés A , B, soit égale à un carré donné m' ?

M« TDêORiJICS ET HOtLÈHES

Si Toa se reporte an ProUéme L\ da Lirrr III, on ion que ce lîea cM no plan pcrpendienliire à b droîie AB.

Or donne n droite* OA, 0A'.~ postant par un point O ; «f Ton demande ntr (fuelte emrfaee mmt titaà les pointt M tels, que si /'on abaisse, deekaam, les perpendiailairet MP, HP, MP"-^ mr ces droites, la somme des rectangles eonstnâts snr les distantes OP, OP, OP"..., eltwrde* longueur* donnée* b, b'. b" — Mtit éyuicatenle à un carré donné P.

Prenons le» disianees UB, OB', OB"..., respectivemoit égales à 6, 6', 6",...; e( abaissons, sur OM , les perpeadicubim

BC, B'C. B C" Nous

aurons, comme il est abé de le voir :

0P.6 = 0M.OC, 0P'.ft' = OH.OC', OP".fr" = OSI.OC",

La relation donnée devient donc

OM(OC-«-OC' + OC'-t- •■■) = /».

Soil I le centre des moyennes distances des |>oints B, B', B" ... sa dislance k nn plan XY, mené par le point O, iierpendiculairemeni i OM , m (Th. XVI)

rf i(OC+OC' + .

Par Buile,

Mais, si nous abaissons MR perpendiculaire à 01, nous aurons aussi

OM.d^OI.OR;

DE GÉOMÉTRIE ÉLf.MEtlTAIRe.

nUI

Celle valeur exprime que la projection de OM sur 01 e»l tonliante; ou que la sut'face cherchée eti un plan, perpendiculaire à la droite qui joint le point 0 au centre des point» B, B', B"..,

On donne deux fdans P, Q ef un point A. Par ce point , on fait passer une droite arbitraire, qui coupe les plans donnés en des points C, D; après quoi l'on construit le point B, conjuf/ué harmonique du point A , relativement aux deux autres points. Quel est le lieu du point B?

Par le point donné A, menons un plan perpendiculaire aux pians donnés. Soient EF, EG les traces de ces derniers plans sur le plan auxiliaire; et soit C'AD'B' la projection de la droite CADB.

Les segments de ces droites sont proportionnels enti^ eux; donc )e lieu du point If est une di^iie EH. conjuguée harmonique de EA, rulaiivcmeiit à l'angle FEG; et, rn conséquence : le lieu demandé est un plan R, perpendiculaire à celui de la figure, et ayant pour trace la droite EH.

Remarque. S) les plans P, Q sont parallèles, le plan R csl parallèle i ch»;un d'eux.

Étant donnés un quadrilatère gauche ARCD et une droite EV qui partage proportionnellement les deur côtés opposés AD, BC de cette figure; trouver une droite G H qui partage proportionnel-

9tS TRÊOItÈHES ET PROBLÈMES

lement U* deux autres côté» AB et CD, et qui suit perpendÛÊtlorrf à la première droite EF.

Première solution. La droite cherchée doit partager proportionnellement AB et CD; donr elle est située dans un plan parallèle à AD et BC (Th. VII). De plus, celle ligne doit être perpendiculnire à EF; elle est donc située aussi dans un plan perpendiculaire h EF.

D'après cela, si l'on imagine, par un point quelconque de l'cs^pacc , un plan parallèle aux côtés AD, BC du qundriiaiérc , et un autre plan perpendiculaire à la droite EF, leur înlerseciion sera parnllèle à la droite GH; en sorte que, pour déterminer cc-iie ri, il suffira d'appliquer ce problème connu : Trouver une droite parallèle à une droite donnée, et gui rencontre dmx droites données (*).

Seconde solution. Sur tes deux côtés conséciitirs AD, DC, con- Rlruisous le parallélogramme ADCI, et menons Bl. I.a droite donnée EF est parallèle au plan AIB; de même, h droite rhcrchée GH est parallèle au plan CIB. Soient AL parallèle à EF, ei CM parallèle k GM:AEFL, CIHGH son! des parallélogrammes. De pins, les droites CM, AL doivent être perpendiculaires entre elles, comme étant respectivement parallèles à des droites perpendiculaires entre elles. Il ne s'agit donc plus, pour déterminer CM, que de résoudre ce problème : Mener, dans un plan donné CIB, et par un point C de ce plan, une droite CM qui soit perpendiculaire à une droite donnée AL , située dans ttn plan donné AIB.

Or, si l'on abaisse CP perpendiculaire au plan AIB; que, du pied P de cette droite, on mène PQM perpendiculaire à AL; qu'enfin l'on joigne te point M, où cette perpendiculaire ren-

(') TVaUiéUmrtUatrt de Giomélrietlacriptivt, Impartie, p.ÔO.

DE GÉOaÉTRIE ËLÉMBIITÀIRE. StS

contre l'iniersPClioR BI des deux plani:, avec le point donné C, on aura la droite cherchée CM.

Remarque. A chaque position de la droite EF correspond une position de la droite GH; en sorte que si la droite EF se meut, en restant parallèle au plan directeur AIB, la droite GH se meut pareillement, et que le point 0 , où ces deux droites se coupent, décrit un certain lieu géométrique. Ce lieu n'est pas rectiligne; mais nous allons prouver, dans le problème suivant, qu'il est phn.

Pr*ftl*BÉe SU.

Une droite EF t'appuie tur tes deux cotés opposes AD, BC d'un quadrilatère gauche, en restant parallèle à l'un des deux plans directeurs. Une seconde droite GH s'appuie sur les deux autres côtés opposés AB, CD, en restant parallèle au second plan directeur. De plus, ces droites sont constfimment perpendiculaires entre elles. De quelle nature est la ligne décrite par leur point d'intersection ?

Si nous considérons diverses positions EF, E'F'..., GH, G'H'... des deux droites mobiles, nous obtiendrons une infinité de quadrilatères gauches, tels que OTO'S, dans chacun desquels deux angies opposés sont droits. Il est clair que chacune de ces ligures pourrait tenir lieu du quadrilatère donné. Nous i pouvons donc, pour plus de simpli*

cite, et sans rien àter à la généralité de la solution, supposer que ce quadrilatère a deux angles droits, en B et en D.

Soit ABCD un pareil quadrilatère. Si nous menons la diagonale AC, et que nous joignions le milieu K de celle droite aux sommets B, D, les dislances AK, BK, CK, DK seront égales entre elles, comme rayons de deux demi-cercles égaux.

r-KI THÊOItÈHES ET PROBLÈMES

De même, si EF et GH sont deux positions correspondantes des droites moNles, en sorte que l'angle O soit droit, les quatre points B, F, O, G seront également distants du milieu K' deGF.

Construisons, comme dans le problème précédent, le parallélogramme ADGl : ses diagonales se coupent en leur milieu commun U; donc, par ce qui précède, DU=UB=UI; donc l'angle UBU est droit.

De même, si nous construisons le parallélogramme EDHR, et que nous menions OR et DO, l'angle DOR sera droit. Mnis les droites OR, BI sont parallèles, comme étant les intersections de plans respectivement parâtléles : donc la droite DO est située dans un plan perpendiculaire à BI, qui coupe le plan OBI suivant DB. Donc le lien du point 0 est plan.

Remanjue. Les lecteurs à qui 1rs Surface» du second ordre sont familières reconnaîtront que la propriété indiquée dans le problème précédent peut être énoncée en ces termes : Daru tout paraboloïde hyperholiqve, le lieu des intersectiotu de deux génératrice», perpendiculaires entre elles, est une hyperbole dont le plan est perpendiculaire aux deux plans directeurs (*).

Êlat)l donnés deux points fixe» A, B, e( deux plans fixe» VV, XZ ; ott prend, dans l'espace, un point quelcottque M ; on mène la droite AM; on joint le point P, où elle perce le plan VY, avec le

(•) Mimntl dn Cattdidali à fÉcole polylKhniqim, t. 11. p. VSI.

DK GÉOMÉTRIE ÊLÊMEMAIItE. S3I

point B, par la droite PpB, laquelle perce le plan XZ ou point p ; enfin on tire le» droiteâ BM, Ap; et l'on obtimt ainsi un quadrilatère plan MPpm. Si le tommel M de ce quadrilatère décrit une droite CD, quel eu le lieu décrit par le sommet m? Convenons, pour abrégiT, d'appeler poinUt homologues les points H, m.

AtonP.psont des points homologues; et, si Ces! la trace delà droite CD le plan VY, et que c soit la trace de BC sur le plan XZ, les points C,c sont encore des points homologues.

Cela posé, considérons

l'angle trièdre dont les arèles sont BM, BC, BP, et coupons-le par le plan mcp : les points de concours des cAtés homologues, dans les triangles MCP, mcp, appartiennent k une même droite, intersection des plans de ces triangles. Or, les côtés HP, mp conmureni en A ; tes côtés CP, cp eoneourcnl en un point E, évidemment situé sur l'intersection XY des plans donnés; donc le point de concours F des côtés CH, cm est l'inlcrsection de la droite AE avec la droite donnée CD. Par conséquent, le lieu du point m est la droite cF, laquelle est alors Vhomologue de CD.

Remarques. — I. On vifnl de voir que la (race C de la droite CD, sur le plan VY, a pour point homologue la trace c de la droite gF sur le plan XZ. On verra, de même, que le point où la première droi:e perce le plan XZ a jMiur homologue le point où la seconde droite rencontre le plan \'Y.

Sn TBËORËMES ET TROBLÈMCS, ETC.

11. &' une droite est parallèle à l'un des plans flxes, son homo' logue est parallèle à Tautre plan.

lii. Si une droite est parallèle à rinlerscciion des plans fixes, son homologue est parallèle k cette intersection.

IV. Si la première droite est siiuèe dans le plan VY, son liumologue sera située sur le second plaît.

V. Les homologues de droites eoncourantcs sont aussi des droites concourantes.