PN.EI = MN.BK
Or, dans les triangles EPI, EMK, les angles P, M sont égaux, comme angles opposés d'un parallélogramme ; donc ces triangles sont semblables ; et l'on a
Si une twface polyédrale convexe ett terminée par ime ligne brisée, dont U» coté» toient ou ne toient ptu dans un même plan , te nombre des facet, plus le nombre des tommels , égale le nombre de» arêtes plus 1 .
Désignons par F le nombre des faces, par S le nombre des sommets , par A celui des arêtes. Il s'agit de faire voir que
Ci-iie formule est vraie dans le cas I de F = l : car alors S=A. Admellons donc qu'elle ait é(ë vériliée dans le cas de F faces, et démontrons qu'elle subsiste pour F + ï faces.
Soit âBC... la ligne brisée qui termine lu surface. Construisons, sur le côté AB, une nouvelle face,
336 TUtXmkMES ET nOBLÈHES
eoinposëe de n toauiieis et de n oôiés. Si eecie laee a m o6lés eommuos avee ABCD..., eOe aun m + f sommets eommuns SYec celte même ligne; car oo suppose qtie le noBYeaa polygone oe ferme pas eomplècement la surface , ec qu il laisse uoe seule ouverture. De cette manière , les nombres F» S , A deviendront respectivement
d*où, à cause de la formule ci-dessus.
Dans tout polyèdre convexe^ le nombre P de$ faces, pbts k nombre S des sommets, égale le nombre  des arêtes plus 2 ; c'estattire que
Enlevons une face du polyèdre; nous aurons une surface polyédrale ouverte, terminée à une ligne brisée, et dans laquelle les nombres de faces, de sommets et d'arêtes seront, respeetivement, P — 1, S, A; donc, d*après la proposition précédente,
F — I^S = A-*-i; etc.
Ce théorème remarquable a un grand nombre de conséquences, parmi lesquelles nous indiquerons les suivantes.
Dans tout polyèdre convexe : 1* les faces ayant un nombre impair de côtés sont toujours en nombre pair; ^ les sommets auxquels aboulissent un nombre impair d'arêtes sont toujours en nombre pair.
(') Théorème d'EuIer.
Soient, respectivement, a, b, c, d,... les nombres de faces trian-r gulairesy quadrangulaires, pentagonaleâ , etc.; représentons de même par a, ^^ y, i, ... les nombres d*angles trièdes, tétraèdres^ pentaèdresy ..., de manière que
F=3aH-6^c -i-d-4- — Ssaa + ^-f-y-^ 6 -^ ••••
Chaque arête appartient à deux faces» et aboutit à deux sommets; si donc nous comptons, soii le nombre des côtés de toutes les faces» soit le nombre des arêtes de tous les angles polyèdres» nous aurons le double 2A du nombre des arêtes. Ainsi
2A =» 3a -f- 46 -fr- 5c -4- Gd + 7e + •••»
2A = 3oc -4- 4p + 5r-*- 6<? -f- Tf -4
Or» ces deux dernières égalités exigent que
soient des nombres pairs.
Tkéorèoie VI.
Dans tout polyèdre convexe ayant F faces, le nombre S des sommets et le nombre A des arêtes satisfont aux conditions :
Les valeurs de F» S et 2A» écrites plus haut donnent
2A — 3S=p-H2r -♦- 3<r + ...; donc : 1*
SS9 THÉORÈMES ET PROBLÈlli^
Celle seconde relation devient, par le Tliéorème douter,
ou : 2*,
Remplaçant A par F + S — 2, on trouve les deux autres con* diltons.
Remarque. II est facile de construire des polyèdres dans lesquels le nombre des sommets soit, d'après les relations précédentes, le plus grand ou le plus petit possible. En effet :
1® Dans un prisme ayant F faces, le nombre des côtés de la base est F — 2 ; donc le nombre S des sommets du polyèdre est 2(F — 2).
2^ Considérons un polyèdre formé de deux pyramides ayant une base commune. Si le nombre des côtés de cette base est n, on aura, en supposant que deux faces adjacentes quelconques ne soient pas dans un même plan :
, , F = 2n, S = n-^2; donc
S = iF-4-2.
Et, si les deux pyramides ont deux faces dans un même plan :
ou
TMéorène TH.
Dans tout polyèdre convexe, le nombre des faces triangulaires, augmenté du nombre des angles trièdres, donne une somme qui tie peut être inférieure à 8. . . . .
D'après les valeurs d^ F, de S et de A, réqualion
F + S = A-»-2 devient
ou
2(«-+-p-«-r-t-<ï-+-— ) — (o-*-26-*-3cH-4d-*-— ) = *» 0) 2 (a-H 6 -♦- c -4- rf-»- ...) — (a -♦- 2^ H- 3r-+- 4(J-*- .-) = 4. (2)
Ajoutons membre & membre ees deux égalités; nous obliendrons
(a-^-a) — (c -H r) — 2 (rf 4- <r) — 3 (c -4- f) — -. = 8; (3) d^où
Remarques. — I. Tout polyèdre convexe a des faces triangulaires ou des angles trièdres.
II. L'équation (5) exprime que : dans tout polyèdre convexe, la somme du nombre des faces triangulaires et du nombre des angles trièdres est égale à 8, plus la somme du nombre des faces penlagonales et du nombre des angles pentaèdres, plus deux fois la somme du nombre des faces hexagonales et du nombre des angles hexaèdres, etc.
Théorème TIII.
1^ Tout polyèdre convexe a des faces triangulaires, ou quadrangulaireSy ou pentagonales ; 2^ tout polyèdre convexe a des angles trièdres, ou tétraèdres, ou pentaèdres.
Entre les équations (1) et (2), éliminons, suocessivement, a et a ; nous trouvons :
Or, les relations (4), (5) exigent que 3a+ 2b-i-c et Sa+S^+y soient des nombres égaux ou supérieurs à 12; done, etc.
Remarques. — LA Tinspection de Téquation (i), on reconnaît que :
i* Si la surface d'un polyèdre est formée seulemeni de triangles, ou si elle est formée de triangles et d'hexagones, le nombre des triangles est égal ou supérieur à i;
2* Si la surface d'un polyèdre est formée seulemeni de quadrilatères, ou si elle est formée de quadrilatères et d'hexagones, h nombre des quadrilatères est égal ou supérieur à 6;
3* Si la surface d'un polyèdre est formée seulement de pentagones, ou si elle est formée de pentagones et d'hexagones, le nombre des pentagones est égal ou supérieur à 12.
