IV. L*équation (S) prouve pareillement que

Si un polyèdre a toutes ses faces triangulaires, et que ses angles soient en partie pentaèdres, en partie hexaèdres, le nombre des pentaèdres égale 12 (*).

(*) Géométrie de Legendre^ 12* édition^ page 308.

V. On démontre, avec la même facilité » les propriétés suivantes :

1® Si un polyèdre convexe n'a ni angles trièdres ni angles tétraèdres, il a au moins 20 faces triangulaires;

2* Si un polyèdre convexe n'a ni faces triangulaires ni faces quadrangulaires, il a au moins 20 angles trièdres ;

3* Si un polyèdre conveoce a un seul angle trièdre, et quil n'ait aucun angle tétraèdre, il a au moins 16 faces triangulaires;

4* Si un polyèdre conveoce a une seule face triangulaire ^ et qu'il n'ait aucune face quadrangulaire , il a au moins 16 angles trièdres ;

Etc.» etc.

Tlié«rèHie IX.

La somme des angles plans d'un polyèdre convexe est égale à autant de fois quatre droits que le polyèdre a de sommets moins deux (*).

Représentons par P cette somme, et conservons les notations précédentes : nous aurons, en prenant Tangle droit pour unité,

p c= 2o (3 — 2) -«- 26 (4 — 2) -+- î2c (5 — 2) -f- 2dl (6 — 2) -^ •• -,

p S3 2 (5a -t- 46 + Se + Crf -♦- •••) — 4(a-*-6-»-c-+-ii-i- — ),

ou encore

Mais

{'} Théorème de Simon Lhuilirr.

S4t THÉOBÈMBS CT FlkOBLtaES

Dans tout polyèdre convexe^ la somme des angles polyèdres est équivalente à l'excès de la somme des angles dièdres sur autant de fois deux dièdres droits que le polyèdre a de faces moins deux n-

D'après un théorème eonnu, chacun des angles trièdres du polyèdre est équivalent i Texcès de la demi-somme de ses angles dièdres sur un dièdre droit [G. 676]. De même, chaque angle tétraèdre est équivalent à I excès de la demi-somme de ses angles dièdres sur 2 dièdres droits [G. 677.]; et ainsi de suite. D'ailleurs, chaque angle dièdre du polyèdre appartient à deux angles polyèdres. Si donc nous prenons Tangle dièdre droit pour unité, la somme de tous les angles polyèdres égale Texcès de la somme des angles dièdres sur la quantité

Or cette quantité est égale à 2A — 2S; ou, par le Théorème d'Euler, égale à 2 (F — 2).

Tlié«rèBie XI.

Si une surface polyédrale convexe présente une seule ouverture, ayant m côtés non situés dans un même plan^ on petU toujours fermer cette ouverture au moyen d'une surface polyédrale ayant au plus m — 2 faces , de manière à obtenir un polyèdre convexe, fermé de toutes parts.

Soit ABCDEF le contour brisé qui termine la surface convexe. On pourra toujours faire passer un plan qui contienne au moins trois des sommets A, B, C, D, E, F, et qui laisse d'un même côtelés

(*} Dû à M. Brianciio!v (Journal de VÉcofe polytechnique, XXV* Cahier).

DC GËOMÉTftIE ÉLÉMENTAIRE. 515

autres sommets et la surface polyédrale. Soit, pour fixer les idées; AEG la faeè ainsi obtenue. Par les sommets A, G, faisons passcr uiipian qu4 laisse. énoôre/d*un même éôlé^ tous les sommets delà surfaee, et suppo$onsque ce plan tourne jusqu*à ce qu*ii rencontre un nouveau sommet, B par exemple : AGB sera une nouvelle face; En continuant de la sorte, nous obtiendrons une série de faces planes, dont Tensemble fermera Touverture ABGDEF. Le nombre de ces faces sera le plus grand possible quand elles seront triangulaires et qu^elles auront un sommet commun A; mais alors ce nombre égale m — 9. De plus, le polyèdre résul^ tant sera convexe; car si le plan EDG, par exemple, coupait la surface polyédrale proposée, le côté GB, prolongé , devrait aus.si couper cette surface, laquelle, contrairement à Thypothèse, ne serait pas convexe. ^

Théorènie XII.

Si la surface d'un polyèdre convexe est partagée en P parties ^ séparées les vnes des autres par A arêtes formant R réseaux isoléSy et que S soit le nombre des sommets situés sur ces arêtes^

on aura

P-+-S = A-^Rh.1 C).

Considérons d*abord le cas où les A arêtes sont liées entre elles, de manière à ne former qu'un seul réseau.

L*égalité P h- S = A -H 2 est évidente si la surface totale du polyèdre est décomposée en deux parties seulement, par une succession d*arêtes formant un circuit fermé; car alors P=32, S«-A.

Subdivisons Tune de ces parties en. deux autres, au moyeh d*une ligne de séparation formée par des arêtes consécutives, et terminée à deux sommets déjà considérés. Alors P augmenté

(*) Cette ingénieuse généralisation du Théorènic d''Euler a été donnée par le regrettable professeur Tliibault (voyez les Nouvelles Jnntt!e$^ t. II).

2U naouBES et

qo^oo peut câeecuer^ h

AdmetloDS maimrnaiit que les A arêtes ne nient pas liées entre dies» de sorte que leur ensembk constitiif R isolés les uns des aaires.

Lions entre enx, par one succession dVrëtes inienneifiaires, deux réseaux eonséeniifs, et eonsidérons le nonvcl ensemUe eomposé d*on réseau de moins.

Pn*a pas changé, mais raugmenlaiim de A surpasse d*nneQnilé Faugmenialion de S; ainsi P + S — A diminue dTune unité. Eo diminuant ainsi sneeessirement, d^une unité, le nombre des réseaux, on aura, 1 b fin, diminué P+S — A de R — 1 imités ; mais alors toutes les arêtes seront liées entre eDes, et Ton aura

P^-S — A — (B — 1) = 2, ou

Le théorème est donc démontré.

Deux polyèdres convexe* P, P' sont égaux lorqu'iU ont iouies leurs faces égales chacune à chacune , et semblablement disposées C^

Pour démontrer que les polyèdres sont égaux, il suffit de faire voir que chaque angle polyèdre du premier a son égal dans le second. Si cela n a pas lieu, c'est que les angles polyédes de P sont, en tout ou en partie, différents des angles pdyèdres de P. Ce second cas peut facilement être ramené au premier.

(*) Tbrorème de Caacby.

En effet, soit SABCDE un angle polyèdre de P, lequel a son égal dans le polyèdre P'. Si nous enlevons cet angle S» et que nous fermions Touverture ABCDE par une surface polyédrale convexe (Th. XI)) nous remplacerons le polyèdre P par un polyèdre Q, ayant moins de faces, moins de sommets et moins d'arêtes que le polyèdre P. De même, nous pourrons supprimer dans P' Tangle polyèdre S' égal à S, et nous formerons un polyèdre Q' dont toutes les faces seront égales à celles du polyèdre Q. En continuant de la sorte, nous arriverons nécessairement (puisque les polyèdres P, P' sont supposés inégaux) à deux derniers polyèdres convexes T,T' ayant toutes leurs faces égales, chacune à chacune, et tels qu'aucun angle polyèdre du premier n'aura son égal dans le second. Le second cas que nous avions à examiner est ainsi réduit au premier.

Admettons donc, s'il est possible, que chacun des angles polyèdres de P soit différent de l'angle correspondant du polyèdre P'. Regardons ce dernier polyèdre comme une transformation du polyèdre P, et, dans cette hypothèse , mettons le signe + sur l'arête de chaque dièdre qui a augmenté, et le signe — sur l'arête de chaque dièdre qui a diminué. D'après le Théorème XX du Livre V, le nombre N des changements de signes obtenus en faisant le tour de chacun des angles polyèdres de P, et le nombre S des sommets de P, vérifient la relation

Deux arêtes consécutives d'un angle polyèdre appartiennent toujours à une même face de P, et n'appartiennent qu'à cette face : donc le nombre N doit être égal au nombre total des varia* tions de signes rencontrées en faisant, successivement, le tour de chacune des faces du polyèdre P.

Or, pour chaque face triangulaire, le nombre des variations de signes est, au plus, égal à 2.

Pour chaque face quadrangulaire, le nombre des variations de signes est, au plus, égal à 4.

En général, si le nombre des côtés d'une face est pair et égal à 3n, le nombre des variations de signes, obtenues en faisant le

tour de cette face, sera, au plus» 2n; et» si le nombre des oAtés d'une face est impair et égal & 9n -i- 1 ^ le nombre des variations de signes ne surpassera pas 9n*

. Cela posé, soient a le nombre des faces triangulaires » h le nombre dés faces quadrangulaires, etc.; nous aurons

D*ailleur8,

Ps=a-*-6-f-c + d-4-e4-—;

d'où

iA — 4F = 2a-*. 4bH-6c -i-8d-f- lOc-t- ...

Mais, par le Théorème d*Euler,

donc

et, à cause de rinégalitc ei-dessus,

Or, nous avons trouvé

Par. conséquent le nombre N serait inférieur à 4S — 8 et supérieur à 4S; ce qui est absurde. Donc il n'est pas possible que les polyèdres convexes P, P', qui ont toutes leurs faces égales cbacune à chacune» n'aient pas en même temps tous leurs angles polyèdres égaux , chacun à chacun. Donc ces polyèdres sont égaux.

Théorème XIT.

1* Dans tout tétraèdre^ les droites menées des sommets^ aui centres des moyennes distances des faces opposées, se coupent toutes les quatre en un mime point, centre des moyennes distances des

DB GfiOHËTRlE ÉLÉMEKTAIBE.

tommett du tétraèdre. Ce point est nlué aux trois quarts de chaque droite, à partir du sommet d'où elle est menée.

3* Dans tout tétraèdre, k$ droites qui joignent les milieux des arêtes opposées se coupent mutuellement en deux parties égales, au centre des moyennes distances des sommets du tétraèdre.

Ces deux (héorèmcs résulleni, imméiiiatemcnt, de!i propriéiés dti centre des moyennes dislonees, énoncées dnns le Livre V, Ajoutons que la démonslration directe serait forl simple.

ThécrtntB ST.

Dons tout tétraèdre trotiqué, à bases parallèles, les droites menées de» sommets d'une des bases, aux milieux des côtés de Vautre bote, opposés à ce» sommets, se coupent en un même point. Soit CF' l'une de ces droiies (*). Il est visible qu'elle est contenue dnns le plan ffi^ dian SF'FC, passant au milieu ¥ de AB; donc elle rencontre, en un certain point M, la droite SG'G, menée ilu sommet S au centre des moyennes distances de la Tare ABC (Th. XIV). Pour démontrer le théorème, il suffit de vérifier que le print M est le même pour les trois lignes dont il s'ngit.

Or, les droites TCFC éiant parallèles, on a

(') On n'a pas tracé les dci» ccn!rc», afin lic rcndri; In liginr plus claii

M TBtOBÊMES ET PROBLÈBES

De plus (Liv. I, Th. II) :

CC=*CF, rC — icT';

MO CF se S\ SB

MG'"^ £?■ S*r" SÂ'^ SB'"'

ÙMOLUiRE. Daru tout tétraèdre tronqué, à ba$^ paratlilet. Ut droitei qui joignent le» milieux des arttei laténtet, avx points oi u ceupetU le» diagonales des faces opposée*, concourent en un même point (*).

Dan» tout tétraèdre, le jAtn bisseeteur de chaque angle dièdre partage Varéte opposée en deux segmaUs proportionnel* aux airtt des faces adjacentes.

Considérons le plan AED, qui divise en deux parties égalea l'angle dièdre dont i'aréle est AD. Il s'agit de démontrer que BE ABD CE "" ACD * Projetons la ligure sur un plan quel- -conque, perpendiculaire à AD. Cette droite a pour projection un point I ; et les pians ABD, AED, ACD, étant perpendiculaires au pian de projection, auront pour traces des droites tB', lË', IC telles, que lE' sera la bissectrice de l'angle formé par IB' et IC [G., 466]. En6n la droite BEC se pmjellera suivant une droite B'E'C

(*) Tbéorèaie de M. Hia»! (NomtUt Comipon lome III, p, Ki).

DE C£03IÉTRm ÉLf.MEHTAlhE. 54»

Cela posé, on a, dans te iriangleB'IC,