BB' IB
CE' ~ IC ' Mais il est Tacile de voir que B'E', CE' sont proportionnelles k BE, CE, el que B'I, CI son! égales, respectivement, aux perpeodiculaires abaissées des poinls B, C sur AD, base commune des triangles AA'D, ACD. La proportion précédente revient donc i celle qu'il s'agissait de démontrer.
Pr*hlèa« 1.
Déterminer la hauteur d'un tétraèdre dont les aréltt tant
Soit SABC un tétraèdre, dans lequel nous prendrons ABC pour base, et SP pour hauteur correspondante. Du point P, projection du sommet S, abaissons PD perpendiculaire sur BC, puis menons SD :
cette dernière droite est perpendiculaire & BC [G., 43S.].
Faisons tourner la Tace SB autour de BC, jusqu'à ce qu'elle vienne se rabattre dans le plan ABC. Dans ce mouvement, la droite DS D'à pas cessé d'éire perpendiculaire k BC; donc, lorsque les plans des deux faces coïncideront, cette droite DS viendra en DS', sur le prolongement de PD. Ainsi, quand on Tait tourner une des faces du tétraèdre aulbur du cdlécommun à cette face età la base, jusqu'à ce qu'elle vienne coïncider avec le plan de la base, le rabattement du sommet, et le pied de la hauteur du tétraèdre, sont situés sur une même perpendiculaire à l'axe de rotation.
Soit actuellement, en vraie grandeur, ABC la base du tétraèdre, et soient BCS', ACS". ABS'" les rabattements des trois autres faces. Nous aurons
AS"=AS"', BS' = BS"', (S' = CS''.
SGO TUËOKËHES ET PROBLÈMES
Si, di-s p<iinu S', S", S"', nous abaissons des perpendiculaires sur les eôtés correspondanUf cei trois droites se eonpent en un m^me point P, projection du sommet inconnu. En outre, ta hauteur SP est lin cdté de ]*ang]e droit du triangle APS, dans lequel AS =- AS" est l'hypoténuse. Si donc nous décrivons une demi-circonférence sur AS" comme dtaméire; que, du point A comme centre, nous iracions l'are PD; et que nous menions S"D, celte droite sera égale à la hauteur du lélraèdre.
Lorsque les aréles sont données en nombres, on peut calculer, d'après celle consiruclion, Feipresuon de la hauteur du tétraèdre, ei ensuiie déterminer le volume de ee corps ; mais celte méibode est moins simple que hi suivante (*).
Calculer, m fonction des arêtes, le volume d'un tétraèdre.
ABC éiant la faee prise p»ur base, soit P la projection du sommet S. Menons PD perpendiculairs à BC, PE perpendiculaire k CA; puis traçons les droites DE, AP, BP, CP : ces trois dernières lignes sont les projections des arêtes AS = a', BS=b',CS:=c'. De plus, les points D, E sont, respectivement, les projections do S sur CB, CA (Prob. I).
Désignons pnr a, b, c les càtés de la base; par x, y tes distances CD, CE; |i!ir z la droite DE.
(*} Cominuiiiqufi; par H. J. Neubei^.
DE GÊOMËTRIB ÉLÊMBMTAinB. 38i
2^ SD est un côté commun aux triangles rectangles SDC, SDB ; donc
c»* — X* « 6'« — BÏÏ',
ou
c'« — 6'« = (x -I- BD) (x — Bb);
puis y- à cause de x +
BD
