AE

Par conséquent :

'-èc-

3* Au moyen de ces valeurs, réquntion (1) devient

i'' A désignant la hauteur SP, on a

A* = c'« - CP'.

Mais CP est le diamètre du cercle circonscrit au triangle CDE; donc [G., 283] , T' étant Taire de ce triangle,

xyz==»î2CP.T\

De plus, si nous désignons par. T Taire de ABC,

1 = 5^ T ab

C) Pour ôlablir celle cgalile (1), il sufiil dévaluer DE, AB, dans/les triangles CED, CAB.

»t THÉORÈMES ET PROBLÈMES

En conséquence :

et, par Téquation (3) :

i 6Vh* =. I erre'* — 6V -♦- C* — ty — a» (6» + e" — a")»

b' V étant le volume du tétraèdre, i6 T'A* = \UVK De plus [G., 288],

1 61*= — «» + 2 (o* •♦- *«)c»— (o» — by.

La formule cherchée est donc

[-«•+2(o'-*-6»)c'-(o»-6^*]c'»-6»(o»-Hj'»-ft'*)»-a«(6*-H!'*-a'»)* \ (5) ^.{a»H-6»— <f) (o»-i-e»—6'*) (6» -♦-€'*— a*»).

6* Pour la simplifier, mettons le second membre sous la forme

Aa»a'» ■*- Wb"* -*■ Cc»c'* -f- D.

Il est visible que :

A = -a'»+2(6»-.-0-(o'+c'»— 6'*)-(o»-f-ft'-c^ = 6» + c» — o» H- 6'» H- c"*— a"».

D = (o»- 6Vc'»— 6» (o*-i- c'*)«-o'(6V ey+ oV (oV 6»- <^ •*- (o»-4- &')V»-<- lo»-»- 6^c'*— o*6'»c'*— dV'a"— «•a'*"

(*) Cette relation résulte, plus simplement, de ces deux-cî :

sssCPsinC, Ts^aôsina

DE GÉOHÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. S5S

7* On a donc, finalement»

— (aVc*+a%'V«H-6*c'*a'*H-c'a'*'«) (A)

Vérifications. — I. Si le tétraèdre est régulier^ le second membre se réduit à 2a*. Conséquemment ,

ce qui est exact [6.» p. 276].

IL Supposons que Tangle trièdre S soit trirectangle. Alors : a««6'*-i-c^ fi»=c^-^a'«, c««o'«^6'«.

Quand il en est ainsi» le tétraèdre est ^ du parallélipipède rectangle ayant a\ b\ d pour arêtes; donc

V— iaVc'.

Remplaçant V par cette valeur, on trouve IHdefUilé

— (6'« H- O (c'« -4- a'«) (a'» -^ 6'«) -*- Î2a Vc'*=0, i

III. Si le sommet S vient coïncider avec sa projection P, les arêtes a', b\ c' sont confondues avec AP, BP, CP. Posant V=0, on a donc la relation entre les distances mutuelles de quatre points situés dans un même plan; savoir

— (aVc»-^aW*^6VV*-*-c*a'«O = 0. . . . (B)

IV. Considérons » enfin , le cas où les arêtes a', b\ c\ aboutis-

55# . TSÉOEtMBS ET PUWLftMES

nnl au sommet S> ont une même longueur /. La formule (A) donne

Soit T Taire de la base ABC : la quantité entre parenthèses égale

16T*;done

U4V«=l6rP-aVc«. <C)

Pour vériflcr ce résultat» il suffit d^observer que, R étant le rnyon du cerde circonscrit à la base, e( A la hauteur, on a

a6c = 4RT, *• = /« — R*.

En effet, Tégalité (C) se réduit à

9V* = rA*;

d'où

Remarque. La figure ABCP peut être considérée comme un quadrilatère APBC, dont AB et CP seraient les diagonales. Conséqueroment^ la relation (B).f) ne doit pas différer de celle qui existe entre les oôtéset les diagonales d*un quadrilatère simple. Si, en effet, pour plus de régularité, on fait les changements suivants dans la notation précédente :

AP-=:o'=a. PB=5'=6, BC«>a=c, CA=&=ii,

Ah^e=x^ CP=c'=y, régalilé (B) devient

((P-»-ai«-c»^. 6«-*-y*— rf)c«o»4- (a:*-^c»— (P-4.^-*- o^—ô»)!!*»

^.(a*— 6*)(c— <f)y*-H(a*— 6Vc«-cO(6V-oV)=0; . (D) relation connue (**).

{*) Elle a été donnée par Carkot {Géométrie de posilùm, p. S88}. (**} Manuel de Trigonométrie, p. 179.

DE GÉOaitTEIB ÉLÉMBIITAIRB. SW

Pr^Mème III.

Couper un tétraèdre ABC par un plan P, parallèle aux aréiee' opposèee AC, BD, de manière que la section EFGH soit nuiocimun^-

Le pbn P, étant parallèle à BD, doit couper les faces ABD» CED

suivant des parallèles à cette arête [6.,^ 443]. De même, il coupe les deux autres faces du tétraèdre suivant des parallèles à' TaréleACLe quadrilatère EFGH est donc' un parallélogramme, dans lequel Tangle HGF est égal à fangle des arêtes AC, BD. Conséquemmeni,ce parallélogramme sera maximum en même temps que le rectangle construit sur les deux côtés HG, GF.

Or, à cause des parallèles :

doù