HG.GF«^^^^BG.GC BC

Dans le second membre, tout est constant, à Texception des segments BG, GC de Taréte BC. D'après un théorème connu, fe rectangle de ces segments est le plus grand possible quand ils sont égaux, c'est-à-dire quand le point G est le milieu de BC.

Il faut donc, pour résoudre le problème, mener le plan P, de manière quHl soit' également distant des arêtes opposées AC, BD.

Remarque. £F -^ FG -»- GH h- IIE »» AC -i- ED.

Problème !▼.

Par les milieux Ë, F de deux arêtes (^posées d*un tétraèdre ABCD, on fait passer une infinité de plans. Quel est celui qui détermine la section la plus petite en surface?

IM THËORfeMBS ET PROBLÈHBS

Soit EGFH le quadrilatère déterminé par l'un quelconque des plans sécants. Menons la diagonale EP; puis abaissons, des sommets G, H, les perpendiculaires GG', HH' sur FË.

Le quadrilatère a pour mesure' '

iEF.(GG -t-HH).

Si le plan sécant tourne autour de EF, le Tacteur GG' -i- HH' varie, l'autre étant constant. Il suit de là que le quadrilatère EGFH sera minimum en même temps que la somme des perpendiculaires GG', HH'.

Par la droite EF menons un plan P, parallèle aux arêtes AC, BD (Prob. III). Généralement, les droites GG', HH', parallèles entre elles, sont obliques à ce plan ; de plus, elle sont égales, parce que le plan P est également distant des arêtes AC, BD. Leur somme est donc un minimum quand elles sont perpendiculaires au plan. Alors GG' est la commune perpendiculaire aux droites BD, EF [G., 48S] ; HH' est la commune perpendiculaire aux droites EF, AC ; et le plan EGFH devient perpendiculaire à P.

Ainsi, pour résoudre le pivïblème proposé :

Faites poster, par la droite EF, un plan P, parallèle aux arêtes AC, BD; par celte même droite, menez an plan P'perpendieulaire au premier : il détermine la section minimum.

Étant donnée une pyramide SABCD , dont la base est un parallélogramme, on propose de la partager en deux parties êqmvaienies, au moyen d'un plan ABCF, passant par un des côtés de la base (*).

Menons le plan SBD : il décompose, en deux tétraèdres, eha-

(*) Démon slration communiquée par H. Neuberg.

DB GÉMifiTRIE ÉLÉMENTAIRE, 387

eune des pyramides SABCD, SABEF. D'après un théorème connu : ,

sabf sp sbef se sf sâbd~sd' sbcd^sc'sd"

L'intersection EF des plans ABEF. CDËF, est parallèle k AB et CD; donc