SE SP /SP
se ' SD "" IsdJ '
De plus,
vol. SBCD = vol. SABD » - V ;
V étant le volume de la pyramide donnée. En conséquence,
S*„P.SB.-iv[|.(ï)'], OU
SF' = SD.DF.
Cette égaillé prouve que U plan cherdié diviae, en moyenne et txtrème ration, cAocune des aritet SD , SC.
Étant donné un paralléltpipède dont toute» le» face» »onl de* totange» égaux, on demande le volume de ce polyé^e, en fonction de» diagonales de» face».
Ce parallélipipède, dont te cube est un cas particulier, port^ en Criitallographie, le nom de rhon^èdre, parce que le losange est aussi appelé rAomfo.
Imag'nons qu'au somnu-t A du rhomboèdre se réuiiisseDltroit angles plans égaux BAD, DAE, EAB; et, pour fixer les idées, supposons-les obtus. Alors, si nous menons BD, DE, EB, ces droites seront tes grandes diagonales des faces AC, AH, AF; de plus, elles seront égales entre elles, puisque ces faces wnt des losanges égaux.
Par ce!) droites, faisons passer un plan BDE; nous obtiendrons un tétraèdre ABDE, équivalent au sixième du rhomboèdre.
En elfi't, ce tétraèdre est équivalent 1 la moitié de la pyramide quadrangulaire ayant pour base ABCD et pour sommet le point B; et cette pyramide est le tiers du rhomboèdre.
Nommons g la grande diagonale DE, p la petite diaginale AH : nous aurons
AB=AD=AE=--i^' + p'-
Par suite, cl d'après la formule (A) trouvée ci-dessus (Proh. Il), le volume du tétraèdre est
Le volume du rhomboèdre est donc
V = -9'ï/3p'-ff'.
Remarque!. — I. Le rhomboèdre que nous venons de considérer est appelé rAont^oèdre obtus. Il est facile de voir qu avi-c les mêmes faces on peut former un autre rhomboèdre, dan* lequel les trois angles plans égaux, qui se réunissent en un
DB GÉOMtTKIB ÉLËMENTAIRE. 3Si
même sommet, sont aigus. Le volunie de ce rhomboèdre aigu «8t» d'après la formule précédente, en permutant les lettres»
II. Le premier rhomboèdre est toujours plus petit que le second» excepté quand p=9r; alors les deux polyèdres se transforment en deux cubes égaux.
in. V deviendrait imaginaire si Ton avait 5p^ =»$[*; donc k rhomboèdre obtus est impossible si le rapport de la grande diagoc
nale à la petite surpasse \/3.
Étant donné un dodécaèdre dont toutes les faces sont des losanges égaux; exprimer, en fonction de l'arête, le volume de ce polyèdre.
Ce polyèdre ABC.P^ que Ton rencontre dans la nature» est appelé dodécaèdre rhombotdaL
Imaginons que trois angles obtus» égaux entre eux» se réunissent par leur sommet commun 6» de ma^ nière à former un angle trièdre.
Par le point G» menons» & Tintérieur de cet angle» une droite GS» également inclinée sur les arêtes. Prenons GA^^GB e=QC = GS; achevons les losanges Gl»
GK» GL; puis» par les sommets A» I» B» K» C»L» menons des droites égales et parallèles à AS : les extrémités de ees lignes seront les sommets d une ligne brisée DMENFP» égale à AIBKCL. Enfin» concevons que les plans PDM» M EN» NFB viennent se couper en un point H» opposé au sommet G : le polyèdre GH sera un dodécaèdre» décomposé en quatre parallélipipèdes. Si Tangle obtus AGB ^
éié CMncaaUeaeM Aom, ces fmnëSfifiàts Knal, eamms le pohêdre GH «a le i»i\tm!*t li li~l f ^H s'^iswi de
Afio de drlenniDcr Tao^ AGB, m k lom^e AGBl. obser^ loas <pe, d'jprês b eaottmclîoa prëeédcaie, les Uni uiglei Aêdra ajant pour arte tomtmmte GS nol Jgiai eolre cm; doue duoiD d'eux Taol les * d'un angle diëdre droit.
Cet» étant, Eûmos passo- nn pba suinnt les sommets A, B, M;
IDOos dhacheroiis, da dodécaèdre, le lélnèdre ABU, dans lequel ehaean des angles dièdres AI, Bl. Ml ett égale â ^. Abaissons du sommet I , la perpeodîetdaire 10 sur le plan do triangle éqoilaléral ABH. Abaissons aussi, des poiais B. H, les droites BT. HT, perpendievhires i i'arëte Al : dies se eoopem eo on même point T, paree que les triangle* AIB, AIM bihii ^ox. Comme Pangle de ees droiiei mesure l'angle dièdre Al, nous aurons
n sait de Ut que les triangles îsoseéles BTIf , AOB sont égaux : dooe, par une propriété connue,
BT BO=:îi.
vs
Enfin , >i nous abaissons lU perpendicubire sur AH, les trian- |let AID, AMT donneol
A» "ht"
Représentons par g la grande diagonale AB de la face AGBI, par p la petite; nous aurons :
IU=ip.
et la proportion devient
d^où résulte
Ainsiy dans le dodécaèdre rhomboïdal^ les diagonales de chaque face sont entre elles comme V^ est à f .
Conséquemment» si Ton désigne par a Taréte du rhomboèdre, puis
La formule trouvée dans le Problème VI donne donc, pour le volume d'im des quatre rhomboèdres,
Multipliant cette quantité par 4, on a définitivement le volume cherché :
rroklèMC ▼III.
On prendf sur les arêtes d'un cube, à partir des sommets, les distances El, EK, EL, AM,..«, égales entre elles (fig. A). On mène les plans A IF, HLF, AKH, •••, lesquels déterminent un polyèdre ayant pour faces vingt-quatre quadrilatères égaux. On demande d^évaluer la surface et le volume de ce corps.
Ce polyèdre appartient, comme le rhomboèdre et le dodé-
tm4rt. Il rM rrprôitMé da» b fi]t. B.
Lrn f>ré faiTs du robe *onc srioées de b roème manière k ré^rd du rentre O. Par «Miséquent, les TÎngt-qaalrr bee» dn trapézoédre som égales entre elk« et ^alrtnrnt distantes de rr po'nt; et le» pyramides ayaDl pour bases les faces rt ponr sommet commun le centre, sont égales entre dlm. Il suffit donc d'ét'sluer h base de l'une d'elles, ainsi que leur hauteur eotnmune.
Prenons ft pan (llg. C) le lélraèdre AlPO, qui a pour base la p; f. section AIF faite dans le cube par l'un des piano
limitant le trapézoédre. Désignons par a Taréte du cube, cl par 6 la distance constante lE (fig. A), laiiuelle est supposée moindre que \ a. Nous aurons, ainsi qu'il est facile de le voir :
AV = aV'i, IA = IF = >^o' + i',
•^i - Lt.
DE CftOMËTHIE ÊLtHEHTAIRE. MB
SoitN (fig.C)Ie milieu deAF; menons IN; abaissons OP perpendiculaire sur celle droite : OP sera la hauteur commune de DOS pjramjdes. Abaissons encore IQ )>erpendiculaire à ON. Nous aurons, dans le triangle OIN,
Or, dnns 1» ligiirc A, ON est parallèle à DE; donc
m lEB l.i/5.
D'ailleurs,
Si nous menons IL et AH, nous aurons \R IL lE
a-*-b Considérons mainicnant le triangle isoscéle AIF (fig. D), dans fiait,- 'P plBD duquel est siluce une fara du
Irapézoédrc. Le plan HLF (Og. A) coupeAIF suivant In droite RF (fig. D); et, si nous prenons I1V = IR, la droite HR' représentera l'Inlerseclion des plans AIF, HKA ((ig. A). De pins, le plan passant par les points B,H,E
86* THÉORiMES ET PROBLÊMBS
coupe le plan A IF suivant une droite contenant N| et parallèle i IF. Si donc, par le point N (fig. D), nous menons NF' parallèle i FI, et NA' parallèle à AI, le quadrilatère NSUT est, en vraie grandeur. Tune des faces du trapézoèdre. Afin de mesurer ce quadrilatère, posons, pour abréger,
AF = 2>, AI=>p, NI = &, IR = r.
Nous aurons, en menant NX parallèle à FR,
d*où
DI ÏN°
Les quadrilatères IRUR', NTUS sont semblables; donc
NTDS — IRDR' (^)*.
Or, IRUR' a pour mesure
eoDséquemment
NTOS= J^. (êZIl) =l^ir^
(p-»-r)p \ âr / ap p+r
F étant Paire d'une face.
Mais
donc
''=17 — îâ; — TrWVTi?.
DK GtOHËTAIE tLÉMENTilU.
EdSd, si nous muttiplions celle quantité par 24 i a*
nous aurons, V éunt le vohime cherché,
Dan» une pyramide (juadrangulaire SABCD, qui a pour base tm trapèze ABGD, on donne : !• la face SAB; 2* ka directions itei arêtes parallélei AD, BC; Z' les angles de la face SCD; et l'on propose de construire la pyramide.
Du sommet S, abaissons SP perpendiculaire au plan de la base, lequel est connu de position. Abaissons ensuite PQ per< pendiculaire au câté inconnu CD, et menons SQ : cette droite sera la hauteur de la face SCD, donnée d'espèce, mais non de grandeur.
Le rapport des segments CQ, DQ est donné; si donc nous divisons le cdté AB, au point E, dans ce même rapport, le point Q sera situé sur EE' parallèle à BC.
D'un autre cAté, le rapport ^ est connu; donc si nous supposons QB<=QS, le point R sera situé sur une parallèle FP' à BC, passant en un point F déterminé par la proportion
