II. Si irms tpkèm we fèrmce$ €ommmmn $e compeml

l.e$ plans radicaux de qmaire sphères, etmndiries irais à traisy se caupeni tous les quatre en un même point, appelé centre radical des quatre sphères.

(Voyez Lîv. III, Th. XXXIX.)

Le lieu des points d'égale puissance, par rapport à deux cercles situés sur une même sphère, est l'intersection des plans de ces cercles.

Observons d*abord que toute corde, soit du premier, soit du second cercle, est une corde de la sphère. Donc tout point pris sur rintersection des plans de ces cercles est un point d'^Ie puissance par rapport à ceux-ci.

D*un autre côté, par un point non situé sur cette intersection, on ne peut faire passer, à la fois, une corde du premier cercle et une corde du second ; ce point ne saurait donc appartenir au lieu dont il 8*agit.

DK GÉOMÉTRIE ÉLËHENTAIRE.

Deux arcs de grands eercles PA, PB, passant par un tnéme point P, et tangents à un petit cercle C, sont égaux entre eux.

Soil AT la tangenie commune au grand cercle PA et au petit cercte C. Soit, de même, BT la tangente commune aux cercles PB, C Ces tangentes, contenues dans un même plan, se coupent généralement en un point T, situé sur l'intersection POP' des plans des deux grands cercles. Donc (Th. III) elles sont égales, et les arcs PA, PB sont égaut.

de ce petit cercle.

Remarque. La circonférence de grand cercle PAP', tangente au petit cercle C, est dite tangente sphérique

ThésrèBie XVII.

Le lieu des points P et'oif l'on peut mener, à deux cercles C, C, situés sur une sphère S, des tangentes sphériques égales, est une circonférence de grand cercle, dont le plan passe par l'intersection des plans des deux cercles.

Du point P comme p6Ie, avec PA pour rayon tphértque, décrivons le petit cercle ABA'B' : il coupe les cercles C, C aux points A, B, A', B', oîi les tangentes sphériques PA, PB, PA', PB' louchent ces petiis cercles (Th. XVI). De plus, les tangentes en A, B, A', B', à ces tangentes sphériques, concourent en un point T, situé sur le rayon OP prolongé. Or le point T appartient à l'intersection RR' des plans C,G'. Donc le lieu des points P est situé dans un plan passant par le centre 0 de la sphère et par l'inlersection RR'.

Zêê THÉORÈMES ET PROBLÈMES

Remarques. — I. La tangente AT, à Parc de grand eerde PA, est, par hypothèse , tangente au petit cercle C. De plus, b tangente AHy au cercle ABA'B, est perpendiculaire à AT : e*est ee que ToD reconnaît en observant que les plans des cercles PA, ABA'B' sont perpendiculaires entre eux, et que AH est perpendiculaire è leur intersection AI. Donc le cercle ABA'B coupe arthogonalemetU le cercle C, le cercle C, et enfin tous les cercles dont les plans passent par la droite RR'.

If. Si le point T se déplace sur la droite RR', le cercle orthogonal ABA'B' varie; mais le plan de ce cercle est le plan polaire du point T (Th. VI); donc il passe constamment par la droite réciproque de RR' (Th. Vlil); donc toutes les circouférences ABA'B se coupent en deux points fixes F, F', qui sont ceux où la surface de la sphère est rencontrée par la droite réciproque de RR'.

ThéorèMe XTIII.

Si l'on conçoit, sur une sphère, une infinité de circonférences C dont les plans passent par une droite D, et une infinité de circonférences C dont les plans pensent par la droite D\ réciproque de D, chacune des premières circonférences coupe orthogonalement chacune des dernières.

Ce théorème est évidemment contenu dans les deux remarques précédentes.

Théorène XIX.

Le sommet A d'un angle sphérique CAD (fig. A), circonscrit à un cercle directeur GDE, a pour cercle conjugué celui qui passe par les points de contact C, D.

Supposons que, par le centre 0 (fig. B) de la sphère, on fasse passer un plan perpendiculaire à un cercle situé sur la sphère. Soit alors CD la projection de ce cercle, lequel a pour centre et

DB GÊOM&TRIE ÊLÉHBNTAIRE. S89

pour pdie les points I, P ; et soient A', B' deux points réciproques, Pj, ^ ou conjugués par rapport à ee

même cercle, c'est-à-dire, salisfaisant à la relation

IA'.IB'=Ïd'.

Les rayons OA', OB' rencontrent la surface de la sphère en deux poinis A, B, situés sur la circonfércnce de grand cercle ÂCD :

ces poinis A, B sont dits conjugués par rapport au cercle directeur CD.

Ainsi, deux pointa A, B, situes sur la circonférence d'un grand cercle, perpendiculaire à un cercle directeur CD, lonl conjugués par rapport à celui-ci, longue les droites menées du centre de la sphère à ces deux pointa rencontrent, en deux points réciproques, le plan du cercle directeur (*).

En second lieu, nous conviendrons d'appelur cercle conjugué d'un point A, le grand cercle BO mené par le point conjugué de celui-ci, perpendiculairement au plan du grand cercle qui contient les deux points. Réciproqucmeiu, le point A est dit conjugué du cercle OB. Enfin, deux grands cercles AO, BO, menés par deux points conjugués, perpendiculairement au grand cercle qui contient les deux poinis. sont appelés cercles conjugués (**).

(*; Les Iccleun à qui Im définitions de la Trigonomélrie sont fomîUirfa Tcrroul ioiniédinlrment qu'en désignant par «, P, ylei arci PA, PB, PC, •n a

laD{ta.UDB^sUDK*r.

(*') Ces dcnumtna lions, et la plupart des théorèmes contenns dans ee VII* Livre, m'nni élé suggérés par la leetnre d'un Irés-intéressaot iM* la êplièrr, dont l'aulenr est H, Alphonse IlH«naii(i.

Ces définitions étant entendues , la démonstration du théorème est facile.

En effet, soient CA',DA' (fig.A) les droites suivant lesquelles les plans des grands cercles AG, AD coupent le plan du cercle CED : ces droites, tangentes au petit cercle, se coupent en un point A^ pôle de la corde de contact CD; et le milieu B' de cette corde est le point réciproque du point B. De plus, toute la figure est symétrique par rapport au plan OA'B'. Donc le grand cercle CBD est conjugué du point A.

(Voyez Liv. III, Th. XXII.)

Tliéorène SLX.

Le conjugué X\ de tout grand cercle C passant par un point A, est sur le grand cercle C conjugué de A.

Imaginons les droites menées du centre de la sphère à tous les points de la figure^ et prolongées jusqu'à ce qu elles rencontrent le plan du cercle directeur D : le lieu des points d'intersection est une figure plane qui peut être regardée comme une transformée de la figure sphérique donnée. Ainsi, les cercles C, C sont' transformés en deux droites c, c'; et les points A, A' sont transformés en deux points a, a\

Le cercle C étant conjugué du point A , il est facile de voir que la droite c est la polaire du point a, relativement au cercle D. De même, la droite c' est la polaire de a'. Mais , évidemment , cette droite c' passe par le pointa; donc son pôle a' est situé sur la droite c (Liv. III, Th. XXIII); donc le point A' est situé sur la circonférence C.

Remarque. La transformation dont nous venons de faire usage s'appelle transformation conique ou transformation perspective : elle ramène, dans un grand nombre de cas, les théorèmes de la Géométrie sphérique aux théorèmes de la Géométrie plane. Comme application de cette méthode, nous indiquerons les propositions suivantes, en nous contentant de les énoncer.

DE GÉOMtTRIE ÉLÉMENTAIRE. SOI

Tké^rèMO XXI.

Le grand cercle C, conjugué de tout point A' pris sur un grand cercle C, passe par le point A, conjugué de C

Corollaires. — L Si, par un point A, pris sur la surface de la sphère, on fait passer un arc de grand cercle ABC, coupant en B, G un petit cercle donné BC ; que, par ces points, on mène à ce petit cercle deux tangentes sphérigues BM, CM; le lieu dupoini de rencontre tide ces tangentes est une circonférence de grand cercle.

II. Si, par différents points M, M', M",... pris sur une circonr férence de grand cercle, on mène, à un petit cercle donné D, des tangentes sphériqîtes; les arcs de grands cercles BC^ B'C» BX'^^... qui joignent les couples de points de contact, passent tous par le même point A.

(Voyez Liv. m. Th. XXIV.)

ThéorèMe XXII.

Si les arcs de grands cercles, qui joignent les sommets correspondants de deux triangles sphériques, se coupent en un même point, les points de concours des côtés opposés sont situés sur une même circonférence de grand cercle* Et réciproquement.

(Voyez Liv. III, Th. XI) (*).

(*) On a yO| à Tendroit cité, que si les points de coDeoars des càvés ter* respondants de deux triangles rcotillgnes sont situés sur une même droite D^ ces triangles sont dits homologiquei. En outre, la droite O est Vaxe d'homo» togie; et le point de conooun des droites, menées par les sommets eonrei<' pondants, est le centre d'homologie.

D*un autre côté, on sait que deux polygones rectiiignes, semblables et

Ml THÉORÈMES ET FROBLÈMBS

Si deux polygones sphériques sont ayunposés d'un même nombre de triangles tels, que les points de concours de deux côtés homologues quelconques, pris dans deux triangles correspondants^ soieni tous situés sur une même circonférence de grand cercle; les arcs de grands cercles, qui joignent les sommets homologues de ces polygones, se coupent tous en un même point.

Remarque. La réciproque n*est pas toujours vraie.

Thé«ff«Bie XXIT.

Dans tout quadrilatère sphérique^ inscrit à un petit cercle, le point de rencontre des diagonales, et les points de concours des

semblablement situés, c*est-i-dire denx polygones homothétiquei , ont un centre de simili tnde.

L'ensemble de ces propositions prouve que deux iriangle$ reettUgnes, gemblables et iemblablemeni placés, sont des figures homologiques^ ayasU leur axe d'homologie transporté à Vinfini ; de sorte que la simUUude, ou plntdt yhomothétie, est un cas particulier de Vhomologie.

Si Ton passe des figures planes aux figures sphériques, au moyen de la projection conique, on n'aperçoit plus aucune différence entre Thomothétie et rhomologie : deux triangles rectilignes, soit homothéliques, soit homologiques, donnent toujours lieu \ deux triangles sphériques tels, que les points de concours des côtés correspondants sont situés sur une circonférence de grand cercle.

Par suite, la propriété dont jouissent deux polygones rectilignes homo- Ihétiques, d'avoir un centre de similitude ou d'homothétie, est remplacée, quand on passe aux figures sphériques, par une propriété plus générale, énoncée dans le Théorème XXIII.

Nous n*avons pas besoin d'ajouter que cette généralisation de la théorie du centre de similitude subsiste pour les figures planes.

JSur toutes ces questions, le lecteur peut consulter le Traité de CéomAris supérieure^ par M. Chasies.

cotés opposés, forment un triangle dans lequel chaque sommet est conjugué au côté opposé.

(Voyez Lîv. III, Th- LUI.)

Dans tout quadrilatère sphérique complet, circonscrit à un petit cercle, chacune des diagonales est conjuguée au point d'intersection des deux autres.

(Voyez Liv. III, Th. LIV.)

Théorèoie SLlLiri.

Si deux quadrilatères sphériques sont, l'un inscrit et l'autre circonscrit à un même petit cercle, de manière que les sommets du premier soient les points de contact des cotés du second : 1* les points de concours des côtés opposés de ces quadrUatères sont situés sur une même circonférence de grand cercle ^ 9* toutes les diagonales se coupent en un même point, conjugué à cette circom" férence; lit* les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit sont situés sur les diagonales du quadrilatère circonscrit.

(Voyez Lîv. III, Th. LV.)

Dans tout hexagone sphéfique, inscrit à un petit cercle, ks points de concours des côtés opposés, pris deux à deux, sont tous trois sur une circonférence de grand cercle.

(Voyez Liv. III, Th. XXVIII.)

VliéorèBie XX¥III.

Dans tout hexagone sphérique, circonscrit à un petit cercle, les diagonales menées par les sommets opposés, pris detix à deux, se coupent en un même point,

(Voyez Liv. III, Th. XXX.)

TBËOItfeHES ET PRULÉIIBS

Ain* tout triangle iphiriqtu, itucrit à un petit cercle, kt point* de concourt des côtéa avec let tangentei sphiriguei aux tommett opposes, tant tituét tw une même circonférence de grand cercle;

(Voyez Uv. III, Th. XXIX.)

Par deux cercles AEB, CPD, traeè» sur une spAère, on peut génénUement faire passer un cône.

Soit BACD te grand cercle perpendieulaire aui cercles donnés; et soient AB, CD, les cordes suivant lesquelles ceux-ci se projettent sur le plan BACD.

Les droites AC, BD, prolongées, se coupent généralement en un point S, qui peut être considéré comme le sommet d'un cdne oblique ayant pour base le cercle AEB.

Cela posé, je disque la courbe, suivant laquelle ce cône coupe de nouveau la surface de la sphère, est la circonférence CFD.

Prenons sur AEB un point quelconque H: soit N le point où ta génératrice SM du eAne perce la surface de la sphère. Abaissons SP perpendiculaire à AB : celte droite est ta hauteur du cône. Enfin, joignons le point M au pointP; puis, dans le plan MSP, élerons NQ pei^ndiculaire à SM.

Le quadrilatère NMPQ» qui a deux angles opposés droits, est iascriptible;donc