SM.SN = SE.SF

Ainsi : les points où deux génératrices quelconques cTtiA cône rencontrent deux sections antiparallèles, sont les sommets d'im quadrilatère inscriptible.

VII. La sphère qui a pour diamètre le segment SQ de la hauteur SP du cône AEBS, détermine la section antiparallèle CFD. D'ailleurs, le point Q est arbitraire. Donc : toute sphère qui passe par le sommet d*un cône à base circulaire, et qui a son centre sur la hauteur du cône, coupe ce cône suivant une circonférence.

VIII. II est évident, par la théorie des figures semblables, que tout plan, parallèle au plan du cercle CF, eoupe le cône S suivant une circonférence. En particulier, si le cerdc CD se réduit k un point, le cône a son sommet sur la sphère, et le plan du cercle CD devient tangent & la surface, au sommet du cône. Donc : tout cône qui a pour base et pour sommet un cercle et un point de la sfAèrt est coupé, suitxint un cercle, par un plan quelconque, parallèle plan mené par le sommet, tangentiellement à la sphère.

Si un cercle variable 1 est tangent à deux cercles AB, CD, tracés sur une sphère O :

DE GËOHËTRIB ÉLËHENTAntE. S97

i ' Le* poinU de contact M, N appartiennent à une génératrice du cône délerminépar les cercles donné»;

2* La circonférence de grand cercle passant par ces deux points coupe, sous un même angle, les circonférences données ;

3* Toutes les circonférences de grands cercles y ainsi déterminées, se coupent en deux points fixes ou foyers F, G, situés sur le diamètre i/ui passe par le sommet S du cône.

Conservons les constructions employées dans te théorème qui précède; et soit SM'N' une génératrice du c6ne, différente de SHN. D'après l'avanldernière remarque, les points M', ti, M, N' ap> paniennent k une même circonférence, située sur la sphère. Si nous imaginons que la généra- Irice SM'N' se rapproche indéfînimeni de la génératrice SMN, cette circonférence, continuellement sécante à l'égard des cercles donnés, tendra vers une position limite IMN. En même temps, les prolongements des cordes communes M'M, N'N auront pour limites les tangentes MT, NT.

La première pariie du ihéorème est ainsi démontrée. D'un autre c6té, le plan mené par le centre de la sphère et par les points de contact M, N, renferme le diamètre OS ; donc toutes les ciroiirérences de grands cercles, telles que GMNP, se coupent aux cxlrémiiés G, P de ce diamètre. En outre, les tangénies à celte circonférence, aux points M, N, font, avec les tangentes MT, NT, des angles égaux entre eux.

En efTiit, le plan qui serait élevé par le milieu de MN, perpendiculairement à celte droite, seraît un plan de symétrie pour les tangentes égales MT, NT, pour le grand cercle GHNF, et enfin

39S THÉORÈMES ET PROBLÊIfES

potir les tangentes en M, N, à oe grand cercle. D^ailleurs, deux angles symétriques sont égaux [G., 598] ; donc, etc.

Remarques. — I. Si, au lieu de considérer le cône dont le sommet est extérieur à la sphère, on prenait le cône ayant pour sommet le point de rencontre des diagonales AD, BC, on arriverait aux mêmes conséquences. Ainsi : deux cercles ^ tels que AB, CD, ont toujours quatre foyers, par lesquels passent les circonférences de grands cercles (*) également inclinées sur les deux circonférences données.

II. Ce qui vient d'être dit du grand cercle GMNF s applique à une circonférence quelconque, tracée sur la sphère et passant par les points M, N. Donc : tout plan passant par le sommet du cône déterminé par deux cercles AB, CD, situés sur la sphère, coupe cette surface suivant une circonférence également inclime sur les deux autres.

III. Réciproquement : le plan de toute circonférence qui coupe, sous des angles égaux, deux cercles de la sphère ^ passe par le sommet du cône déterminé par ces cercles.

Les sommets des cônes déterminés par trois cercles tracés sur une sphère et considérés deux à deux, sont, trois à trois, sur quatre droites situées dans un même plan.

Supposons que, sur une sphère 0, on ait tracé trois cercles C, C, C". Les cercles C, C déterminent deux cônes S", s"; les cercles C, C" déterminent deux cônes S, s; enfin, les cercles C, C déterminent deux cônes S', s'. Admettons, pour fixer les idées, que les cônes S, S', S'' aient leurs sommets extérieurs à la sphère. Je dis d'abord que ces sommets sont en ligne droite.

(*} M. Heegmann a proposé, pour ces circonférences de grands cercles, la dénomination de sécantes Uogonales des cercles AB, CD.

Parmi toas les cercles qiii toucheraient extérieurement les cercles C,C'» considérons celui qui toucherait , extérieurement aussi, le cercle C. Soient m, m\ m" les trois points de contact. La droite qui passe par deux quelconques de ces points passe aussi par le sommet correspondant. Ainsi, les sommets S, S', %' sont dans le plan du triangle mm!ni!\

Pour la même raison, ces trois sommets appartiennent au plan du cercle nn'n" qui toucherait intérieurement les cercles donnés. Donc les points S, S', S'^ sont situés sur une même droite.

On voit, semblablement, que les sommets S, $\ s" sont en ligne droite; qu'il en est de même pour les sommets S', s'\ 5, et encore pour les sommets S'\SfS\ Et puisque chaque sommet appartient à deux droites différentes, les quatre droites sont dans un même plan (Th. XVII, Rem. VI).

Remarques. — I. La théorie qui vient d'être exposée est tout a fait analogue à celle des figures semblables. Les sommets S,$ tiennent lieu des centres de similitude, externe et interne; les droites SS'S", Ss's^y etc., remplacent les axes de similitude, etc.

II. Considérons le cas particulier où les circonférences C,C',C"^ seraient perpendiculaires à un même grand cercle. Le plan de celui-ci coupe les cônes S, S', S" suivant six génératrices, dont Tensemble constitue un hexagone inscrit. Mais, ainsi que nous venons de le voir, les sommets S, S', S" sont situés sur une même droite. Nous retrouvons donc le théorème de Pascal (page 108).

Théorème UXIII.

Si deux cônes ont un sommet commun S, et que leurs bases soient deux circonférences sécantes C,C', tracées sur une sphère 0, Vangle sous lequel se coupent ces bases est égal à celui sous lequel se coupent les sections antiparallèles e, c', situées sur la même sphère.

Par les points d'intersection A, B des circonférences C, C, faisons passer deux génératrices SA, SB : elles percent la surface

de la sphère en des points a, 6 qui, évidemineac, sont ceux où se coupent les circonférences c, c\

Cela posé, imaginons» sur la surface de la sphère, un cerde l qui touche C, c aux points A, a. Ce cercle est également incliné sur C, c' (Th. XXXI, Rem. II); donc ces circonférences font, avec C, c, des angles respectivement égaux.

Thé«rèaM XEXIT.

Si deux cônes ont pour bases deux circonférences sécantes C, C tracées sur une sphère 0, et que leur sommet commun S soit un point de cette stirfacef tout plan P, parallèle au plan tangent T à la sphère, en ce point S, coupe les cônes suivant deux circonférences c, c', dont l'angle est égal à celui des deux premières (*).

Nous savons déjà (Th. XXX, Rem. VIII) que les sections faites dans les deux cônes, par le plan P, sont des cercles c, c' : il suffit donc de faire voir que Tangle sous lequel ces cercles se coupent est égal à celui sous lequel se coupent les deux autres.

Pour cela, imaginons, sur la surface de la sphère, deux circonférences \ y, respectivement tangentes aux cercles C, C, en Fun A des points où se coupent ces cercles, et passant toutes deux par le sommet S du cône. L'angle formé par les tangentes t^fk ces circonférences, au point S, est égal à celui que font les tangentes en A, aux cercles donnés. D'ailleurs, le plan P est parallèle au plan des tangentes ^ f; et il est facile de voir que Tangle sous lequel se coupent les circonférences c, c' est égal à celui de ces dernières droites ; donc, etc.

Remarque. Les Théorèmes XXX et XXXIV contiennent les

(*} M. Heegmann, dont je reprodaîs presque intégralement le travail, considère ce théorème comme un cas particulier du précédent. J^ai pensé qu^une démonstration directe était nécessaire, du moins pour les commen^aati^

DE GËOH&TRIE ÊLftHEKTAIRE. Wl

fnpnélés sur lesquelles est fondée la projection Mtèréogrephiqut aa projection de Ptolémée. Ces propriélés sont les saivantes :

i* La peripeclive d'un cercle quelconque, tilué «ur la aphirt, est un autre cercle}

3* La peripectioe d'une figure iphérique TBis-piriTB «I uiw figure aembtabh à ta première.

Si un cône a pour base un petit cercle AB de la tphire 0, et pour totnmet un point S de cette surface, le centre de la section antiparallèU du cône est sur la droite qui joint le sommet au pôle Pde la base.

Soit ABSM le grand cercle passant par le sommet S, perpendiculairement à la base; soit AB la corde suivant laquelle se projette celle-ci : le pôle P de cette droite, par rapport au grand cercle, est aussi le pôle du petit cercle AB, relativement à la sphère (Th. IV). Si, par ce point P, nous menons EPF parallèle à la tangente ST, cette droite EPF sera la projection de la section faite parallèlement au plan tangent en S, c'esl-à-dlre la projection d'une section antiparallèle. Pour démontrer le théorème, il saffit donc de faire voir que le point P est le milieu de EF.

Or, les angles TSA, SAP sont égaux, comme ayant même mesure; ei,k cause des parallèles, les angles TSA, PEA sont égaux; donc, dans le triangle PAE, PA»-PE. Pour une raison semblable, PF— PB. D'ailleurs les tangentes PA, PB sont égales entre elles; etc.

Remarque. Supposons que la droite SP soit 6xe el que le point

-4tt THÉORÈMES ET PROBLÈHES

P ee déplace : le cercle AB variera, mais de manière que son plan passera eonsUmment par la droite réciproque de 8P (Th. VII). De plus, celle droite réciproque sera projetée à la rencontre de AB avec ST. On conclut de là cette propriété remarquable :

Si des cône», en nombre quelconque, ont pour lommet commun un point de la sphère, et que leur» bote» »oient de» cercles de cette twface, se coupant suivant une droite située doiw le plan tangent au eommet; tout plan parallèle à celui-ci coupe tou» ces cônes mfvanl de» cercle» concentriques.

Vht^wéme XX XVI.

La figure réciproque d'un plan P, relativement à une »phère S, ttt la sphère S' qui a pour diamètre la distance du centre de S au pôle de P.

(Voyez Th. XCIII, Liv. III.)

La figure rédproque d'un cercle A B, relatietmait à ww tiAère S, est un cercle CD.

La figure réciproque du cercle ABest située sur le cane qui a pour base oe cercle, et pour sommet le centre S de la sphère direclrice. Elle est située aussi sur la sphère dont un diamètre est la droite qui joint le i-entre S au pôle P du plan AB. D'ailleurs (Th. XXX, Jî«ffl. Vil), ces deux surraces se coupent suivant une circonférence CD.

ta figure réctpi-oque d'une sphère S', relativetnent à wie q^àre S, est généralement une spfière.

Un plan quelconque, mené par les centres des sphères S, S', coupe ces surfaces suivant deux circonréreaces C, C. La figure réciproque de C, par rapport è C, est une circonférence C", section méridienne de la figure réciproque de S' ; eic.

Semarque. Si la sphère S' passe par le centre de la sphère directrice S, la figure réciproque de S' devient un plau (Th. XXXVI).

TkéM-tM* XXKIS.

Dans deux figures rédproftm, te$ OHflit cùm^imdattts tomt .égaux.

En considérant seulement le cas oè h première fignre est composée de droites ei de plans, la d^uonsiratioD est tout à fait analogue à celle du Théorème XCV (Lit. IU). Nous laîssona au lecteur le soin de la développa.

Dans tout quadrilatère inscrit, dont Us diagonales sont raeftn*gt^ires, la soinme des carré» des côtés est équivalente d htàt fois k carré du rayon R de la sphère, moins huit fois le carré de la diilance p du centre de la sphère tu centre du quadrilatère.

Soit ABCD un quadrilatère dont les sommets sont situés sur la surface d'un sphère 0: nous disons qu'il est inscrit à la sphère. La projection P du centre 0 , sur le plan du quadrilatère , est le centre de la circonférence suivant laquelle ce plan coupe la sphère. Tirons les rayons AO, A P.

On a (Liv. III, Th. LXI) :

AB*+BC' -*-Cij*-f- i)A*=8ÂP*;

4M TBtORËHES ET PROBLÈIIBS

et, i cause du iriongle rrctangle OPA :

ÂB* + W;* -I- aï* +1ÏÂ* «= 8R' — 8j^.

mé«rfcHB SLI,

Dan» tout octaèdre inuril, dont Us diagotuUet te etmptnt reetaiigukiiretnent, en nn mime point M, ia lomme de» carrit du arélei ett ê^ivalenteàvùigtquatre foi» le carré du rayon de la ipkère, moin» hwt /bu le carré de la dittanee du centre au point M.

Le théorème précédent, appliqué à chacun des quadrilatères AB'A'B, BCB'C, CA'C'A, donue, ea appelaol p, q, r les distances du centre aux trois plans :

W*^Wx" + Th* +"BÂ* = 8R*— 8p»,

BC* ■¥■ CF* -•- B'C' -+-ÎB' — 8R* — 89*,

EÂ^ ^ Vt?* + C^' + ÂC' = 8R» - 8r* î

puis, si l'on désigne par Z la somme des premiers membres :

On sait (et il est d'ailleurs visible) que

Donc enfin

2 = 2iR*— 8«J*.

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMBIITÀWE. 408

La somme des carrés des segments formés par trois cordes qui se coupent rectangulairemcnt deux à deux^ en un même point, est égale à six fois le carré du rayon R de la sphère, moins deux fois le carré de la distance du centre au point M d'intersection des cordes.

Les triangles AMB, AMC, AMB', AMC, rectangles en M, donnent :

ÂF* «ÂM V BU'. ÂC* = Ail' -h CM*.

Ainsi, dans la somme 1 (^TIi XLI), le terme AH est compté quatre fois. Si donc Ton désigne par 1^ la nouvelle somme cherchée, on a

2, = (IR* - 2cP.

La somme des carrés de trois cordes qui se coupent rectangulairement deux à deux, en un même point, est égale à douze fois le carré du rayon de la sphère, moins huit fois le catré de la distance du centre au point d'intersection des cordes.

Ajoutons, aux deux membres de Tégnlité précédente, la quantité

2(AM.A'M -^ BM .B'M + CM.r/N);

nous obtiendrons

AV*^Bp-f.CC''=6R*-^2(r*-+-2 AM A'M ^ BM . B'M -*-CM . CM).

Mais