P,Q, M'.N'.IP^Q
les projeciions de ce
point, sur les faces
do roclaèdre. Soient,
enfin, ni, n,p,q les
projeciions du même
point, sur les côtés du
quadrilatère AB'A'B.
LeptanOfnCper-;
peodiculaire à Ali', coniieni la purpeiidiculaii^ OM à la face
C AB' ; donc Us points m , M , C sont en ligne droite. Il en est de
même des points n, N, G; p, P, C; etc. En outre, les angles
OHC, ONC, ... étnnt droits, /«point* M, N,P, Q sont titué»
lur la sphère ayant OC pour diamètre.
3* Considérons le cône dont la base est la circonférence mnpq (1*), et dont C est le sommet. D'après nn théorème connu (Th. XXX, itemoffue Vil), ce cime coupe la surface de la iphère OS suivant une circonférence (') : donc les points M, N, P, Q sont situés sur cette circonférence. Semblablement, les points M', N', P', Q' appartiennent à une même circonférence. En continuant de la sorte, on voit que fe> Auif pot'nd M, N, P,Q,M',N', P', Q', prit quatre à quatre, sont situés sur six circonférences.
trèfr^mple) est auiceplible, nous avons choisi celle qai me) en évidence eette propriété : ian* ehatu» de» quadrilalènt A'B'OD', B'COA', CA'OB', O'B'OC, dtia angle» appâté» toni eompUmentaire».
(*) HsbltvelIemeRl, dans la projection ttiriographiqfUf on suppose que la base du cAoe est dans le plan d'un grand cerde, serrant de tableau; mais il revient an même d'adopter, comme base, la elreouférenee tulrant laquelle le eône est coupé par le plan AB'A'B, tangent i la sphère.
MB THÊORËHCS ET PROBLËMSS
4" Par la cireonrérence MNPQ, et le point H', on peut Taire passer une aphère S : celte sf^ère contient la circooréreoee
MNH', c'est-lt-dire la circonrérence MNH'N'; etc.
Tké*f4Bi« SLT.
A tout hexaèdre régulier OH peut inscrire un tétraèdre régulier, dont le» tommett et Um arête» appartiennent aux tommet» de l'hexaèdre et aux diagonale» de te» face».
A rinspectbn de la figure on reconnaît que les sommeU B, D, G, E de ('hexaèdre sont ceux d'un tétraèdre régulier.
Remarque. Indépendamment de ce premier lëiraèdre inscrit, H y en a un autre, dont les sommets H, F, A, C sont, respectivement, opposés aux premiers. Ces deux tétraèdres sont placés symétriquement par rapport au centre de l'Iicxaëdre.
TkéartiÉe XLTI.
À tout dodécaèdre régulier on peut imcrirewi hexaèdre règuUer, dont le» lommeti et le» aréle» appartiennent aux »QmmeU du dodécaèdre et aux diagonale» de ses faces.
Reportons- nous h la consiruction connue [C, 693], et soit AB...PQ l'une des doux surfaces polyédrales ouvertes dont l'ensemble constitue le dodécaèdre régulier. Menons, dans les pentagones AH. AC, AP. Bl, les diagonales FH, ËC, FE, HG : nous formerons ainsi un quadrilalère FHCEi ayant les côtés égaux. De plus, les diagonales FH, EC, p&ratléles à AB, sont parallèles entre elles; et chacune est divisée en deux parties égales par le plan élevé perpendiculairement au milieu de AB;
DB GtOHiTRIE £LfiHENTAIItE. MB
d'où Ton conclut qtie les angles F, H, C, E sont droits. Donc FHCE est UD carré.
Menons CL, EN, LN : la figure ECLN sera un carré égal au premier.
En effet, l'angle Iriédre CEDL est égal à l'angle irièdre CHBL ; donc la face ECL est égale à HCL; etc.
Si nous considérons la seconde moitié de ta surfece du dodécaèdre, nous pourrons répéter les méroes constructions, en choisissant, parmi les diagonales, celles qui aboutissent aux sommets F, H, L, N. Il y aura donc, sur chacune des deux parties de la surface du dodécaèdre, six arêtes d'un même cube; etc.
^marqué. Chaque diagonale, telle que EC, prise arbiuvirement sur une face AfiCDE du dodécaèdre, détermine un hexaèdre inscrit. Le nombre des hexaèdre» régulieri , itueriti à un dodéeaidre réifulier donné, est donc égal au nombre dés diagonales d'un pentagone, c'est-ànlire^ffa/ii ànq.
Pr*M*He 1.
Diviser, en deux partie» égaie», vn arc de cercle donné (*).
Pr«bt*aM II.
Divieer, en deux parties égaie», l'angle formé par dtux arc» de grands cercles donnés.
(*) Les problèmes dont nous doDnons Mnlemenl \ts inonds sont facilM k résoudre, mit directement, loil par In companiMn iTec les problèmet traites dans les Livres II et Itl.
rr«MèMe III.
À un iriasigle donnif ctrconMcrire une dreonférence.
PMMèHM IT.
A un triangle sphérique donné, inscrire une drconférence.
Remarque. Trois plans, menés par le centre d*une sphère, déterminent en général» sur sa surface, huit triangles. Par conséquent, si Ton propose de tracer une circonférence tangente à trois circonférences de grands cercles, le problème admet huit solutions.
Construire un triangle sphérique, connaissant deux côtés et Vangle compris.
Construire un triangle sphérique, connaissant deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux.
PraMème TII.
Construire un triangle sphérique, connaissant les trois côtés.
ProklèM« ▼III.
Construire un triangle sphérique, connaissant un côté et les deux angles adjacents.
An moyen du triangle polaire , on ramène ce problème au Problème V. La même considération permet de résoudre les deux questions suivantes.
DE GÉOMÉTRIB ÉLÉMENTAIRB. 41 1
Problèiii« IX,
CoMtruire un triangle sphérique^ connaissant deux angles et le côté opposé à Fun d'eux.
Problème» HL,
Construire un triangle sphériquCj connaissant les trois angles.
PrAblème XI
Par un point donné, mener un arc de grand cercle tangent à un petit cercle donné.
Problème XII.
D'un point donné, comme pôle^ décrire un cercle tangent à un cercle donné.
ProblèBie XIII.
Tracer une circonférence de grand cercle tangente à deux petits cercles donnés.
Remarque. La solution de cette question est tout à fait semblable i celle de ce problème de Géométrie plane : Mener une tangente commune à deux cercles donnés.
Problèoie XIV.
Tracer une circonférence tangente à deux cercles donnés et ayant un rayon ephérique donné.
Remarque. Ce problème admet, en général, hmt solutions.
419 TflÉORtarES ET PROBLÈMES
Dioire ime circonférence qui pane par deux points donnée A, B et qui touche un cercle donné C.
Par les deux points donnés» faites passer une circonférence quelconque, coupant en D, Ë la circonférence du cercle donné. Tracez les sécantes sphériques AB, DE; et, du point F» où elles se coupent, menez, au cercle C, des tangentes sphériques FG, FG' : les points G, G' sont les points où les deux circonrérences qui satisfont à la question touchent la circonférence donnée.
(Voyez Prob. XXII, Liv. III.)
Pr^Mème X¥l.
Décrire une circonférence qui passe par un point donné A, et qui toucJie deux arcs de grands cercles donnés.
(Voyez Prob. XXIII, Liv. III.)
Décrire une circonférence I, qui passe par un point donné A, et qui touche deux petits cercles donnés B, G.
Nous savons (Th. XXXI) que Tare de grand cercle, mené parles points de contact inconnus M, N, passe par les foyers F, G des cercles donnés. Nous savons aussi que ces foyers sont les points où vont concourir les arcs de grands cercles, également inclinés sur les circonférences B, C.
Conséquemment, si les cercles donnés sont extérieurs Fun i Pautre, où s*ils se coupent, nous leur mènerons deux tangentes sphériques communes (Prob. XIII), lesquelles se rencontrent aux foyers cherchés.
Si les circonférences B, C sont intérieures Tune à Pautre; pre-
nons les points K, L» où elles sont respectivement reneontrédi par Tare de grand cercle qui en joint les pôles ; puis, par ces points, Caiisons passer une circonférence coupant B, C aux points K'y L' : Tare de grand cercle KX' passe par les deux foyers (Th. XXX et XXXI).
Ces points, qui remplacent les centres d*homoihétie de deux cercles situés dans un même plan, étant déterminés, la question s'achève aisément.
(Voyez Prob. XXIV, Liv. III.)
rr^blèaie «▼lit.
Décrire une circonférence tangente à trois petits cercles donnés.
Première solution.Le problème se ramène è celui qui précède. (Voyez Prob XXVIII, Liv. III, première solution.)
Seconde solution. Pour ne pas compliquer les constructions, servons-nous de la figure relative au cas où les circonférences étaient dans un même plan (p. 307). Cette figure plane n*est, en aucune façon, la projection de la figure sphérique ; mais elle permettra au lecteur de se représenter, avec plus de facilité, des eonstructions qui devraient, réellement, être effectuées dans Vespace.
Soient donc A, B, C trois petits cercles situés sur la surface d*une sphère donnée; et, parmi les huit circonférences qui peuvent satisfaire à la question, considérons abc, qui touche extérieurement ces cercles, et a'6'c',qui les touche intérieurement.
La droite aa', menée par les points de contact du cercle A avec les cercles cherchés, est une génératrice du cône (a6c, a'b'c') déterminé par ceux-ci (Th.XXXI).De même pour bb' et pour ce/. Ainsi, ces droites concourent en un même point o, centre ou sommet de ce cône. Et comme ces droites sont des cordes de la sphère, nous avons oa.oa':=ob.ob'=^oc.oe' (Th. XII); d*où il résulte encore que le sommet o est le point où se coupent les plans des cercles donnés (Th. XV). Si l*on suppose ce point o
jmttmtMTs n- ruMUais
joâl M eenlre île la
sfbtn pir Due droite.
|KHmP(lM sar b ignre), kqnd est. loni i b fois, Tub da fewn des cercles cberebéa (Th. XXXI), et le point d'où Toa peut mener, «m circonféreoccs A, B.C. des tangentes ^ibériques ^f les (Hi. IVII).
Les sammets m, h', m' des eAoes (A, B), (B.C),(C.AXaaiitsilaéi sur la droite suivant laquelle se coupent les plans des cercles abe, a'ftV (Th. XXXII); ti cette droite est le lien des pointa d'^le poïssanee par rapport ft ces cercles (TÎJ. XV). Doue les tangentes en a, a!
doivent concourir es un point x, situé sur cette ligne; et il en est de ménie pour les tangentes aux points b, b', et pour les tangentes aui points c, c*.
La polaire du point X, relativement aa cepde A , est la corde de
contact aa' ; donc le pôle p de mm! m'* doit se trouver sor cette corde.
De là, par le principe de la projection conique, on conclut que : le point conjugué de la circonférence de grand cercle mm'm", relaHvement au cercle directeur A, est eitué sur la circonférence de grand cercle passant par les points de contact a , a'.
Donc : 1* Construisez les foyers des cercles donnés, pris deux à deux; 3* tracez la circonférence de grand cercle passant par trois de ces foyers; 3» clierchez les points conjugués de cette ligne, par rapport à chaque cercle ; 4^ joignez, par des arcs de grands cercles, ces points conjugués, au point F d'oi^ l'on peut mener, aux cercles A, B, G, des tangentes sphériques égales : les intersections de ces arcs, avec les circonférences données, sont les points de contact cherchés.
(Voyez Prob. XXVIII, Lîv. III.)
Pr«Mène XIX
Quel est le lieu géométrique des sommets C des triangles sphêriques construits sur une base donnée AB, et dans lesquels la dif^férence entre la somme des angles à la base et l'angle au sommet est constante?
Soit P le pôle du petit cercle passant par les sommets A,B, C.
Si nous menons les arcs de grands cercles PA , PB, PC, nous décomposons le triangle ABC en trois triangles isoscèles. Or, E étant Y excès donné [G., 671], et a, ^, y les angles à la base, dans ces trois triangles, Tégalité
équivaut à
d*où
CÂB -^ CBA -^ ÂGB B E
p-^y4-«t-*.y— (pH-a)=BE;
4tt THËOfttMBS ET PROBUmES
AÎDsi, le triangle isoscèle APB est déterminé. Par conséqueni, le lieu cUrchè eit Parc du petit cercle dont P eit le pôle, et qm patee par Ut extrénàti» A , B de la bau tbmnie.
Quêl ett le lieu géométrique des tommett C dei triaugU» tphi' rique$ de même baie ÂBelde même surface? En représentant par m le rapport du triangle ABC an triante trireclangle, et en prenant pour unité l'angle droit, nous avons
A + B-»- C — Sbim.
Prolongeons les cAtéa AC, BC jusqu'à ce
qulls rencontrent la circonférence ABA'B',
aux points A', B'; nous formons un triangle
A'B'Cjdans lequel les angles A', B' sont les suppléments respce-
tifs des angles A, B. L'égalité précédente devient donc
3 A'-t-2 — B' + C — 2=-m, on
Ainsi, la différence entre l'angle C etla somme des angles A', B* est oonsunte; donc le punt C décrit un arc de petit cercle passant par les points A', B'. C'est4-dire que :
Le Ueu géométrique det aommett des trianglei sjJiérique», de même bote et de même surface, ett un arc de petit cercle paitaiU par le* point» diamétralement oppoiè» anx extrémilêi de bt
f / Cette propoiition ett eonnue miu le nom de Thiorèm» de LattO. La démonitntlaD «î-des«u, remarquable par U limplidl^ est dse k Sleintr. (Voyei Jwniol dt Liouti^UuaeWl, p. 113; lUl.)
^marque. Soit V le paie de ce pelit cercle. Si l'on désigne par / les angles ï la base, dans le triangle isoscéle A'P'B', on a
Construire un triangle iphérique ABC , eonnaiuant deux sommets A, B, un angle A , et la surface.
Soit, comme dans le problème précédent, A -»- B-+-C— 2=m.
Soient A', B' les points diamétralement opposés & A, B. Construisez le triangle isoscële A'P'B',dans lequel A'= B'= 1 — ; m ; puis, du point P' comme pôle, décrivez le petit cercle A'B'C: il détermine le sommet cherché C.
Dans un triangle spfiérique A BC, on mène les arcs de grands cercles AD, BE, CF (*) qui le divisent, chacun, en deux parties équivalentes. Comment se coupent ces trois lignes?
Les triangles ABD, AEB, moitiés de ABC, sont équivalents. Ces triangles ont même base AB; donc les points D, E appartiennent à une circonférence de pelit cercle, passant par les points A', B', diamétralement opposés & A, B (Prob. XX). Ainsi, les points D, E, A', B' sonisituésdansunméme , plan. Pour la même raison, les points E, F, B', C sont dans un même plan; et aussi les points F,D,C',A'.
(*) Non représenlés sur la figare.
Ml THÉORÈHES ET PBOBLÈMES
Ces trois plans fiuwent un aogle u-ièdre S, ayant pour arêtes A'D, B'E, CF. Par conséqiienl, les arcs de grands cercles ADA', BEB', CFC se coupent en un même point, situé sur le diamètre OS. On a donc ce théorème remarquable, dû à Steiner :
Les arct de gratuit cercle», menée par Ut tomtneti d'un triattgle sphériqw, et qui, chacun, divùent ce triangle en deua partiet éqmvalentet, te coupent en vn même point.
Praklème XXIII.
Étant donnée l'arête c d'un polyèdre régulier, trouver lerayon R de laiphère circonscrite et le rayon t de la sphère inscrite.
Tétraèdre. On sait que les perpendiculaires abaissées des aom-
Imels A , D , sur les faces opposées , se coupent en un point 0 , situé aux trois quarts de chacune d'elles, à partir du sommet correspondant [C, 281]. D'ailleurs ce point O est le centre commun de la sphère inscrite et de la sphère circonscrite; ainsi
De plus, dans le triangle recUngle OGD, ÔD*— ÔG* = GD',
Ces deux équations donnent
Hexaèdre. Evidemment
DE GËOMÉTBIE ÉLÉMENTAIRE.
Octaèdre. Les droites OA, OB, OC, perpeDdiculaires entre
elles, sont égales à R. Donc
ou
dessus.
d*où
Si nous menons OG perpendiculaire à ABC, cette droite est le rayon de la sphère inscrite à Toctaèdre. On a donc, comme ci-
Dodécaèdre. Dans un pentagone régulier ABCDE, dont c est le
côté, menons le rayon OB «* R' et la diagonale AC <= d. D'après le Théorème I du Livre IV, le côté c est égal au plus grand segment de la diagonale dy partagée en moyenne et extrême raison; donc
Cela posé, assemblons trois triangles égaux à ABC» Nous
obtiendrons un tétraèdre GABH, dans lequel Tangle trièdre B est Tun de ceux du dodécaèdre [C., 692]« Si donc nous abaissons BLI perpendiculaire à CAH; si nous prenons, sur BF, BO«==R' ; et si enfin nous menons 01 perpendiculaire à ABC, le point I sera le centre du dodécaèdre.
mê 'ntemtMts et memtkmEs
Lef irtesles BLF, BCM dooiicm
»F Ft Bl~ôr'
W FL Pour évaluer le rapport de BF à FL, obserroos que
elque
FL = iFe = -iil^5.
puis, en remplaçant c par sa valeur :
Kj{^^^-i>-i^/7^Z^^
Le triaiigli; BOI donne ensuile
bT — oi'="b5'.
ou
Le rayon R' du cercle circonscrit au pentagone régulier a pour
-algur [G.y 3451 : la dernière équation devient ainsi,
en venu de la précédente,
d'où
Nous avons donc
et, par suite.
1 x/ss-t-nï/s
Icosaèdre. GonstruîsonSy avec c pour côlé, un pentagone régulier ÂBGDE. Prenons cette figure pour base d'une pyranoide régulière ayant G pour sommet, et dans laquelle Tarète soit aussi égale à c. Enfin, par le centre I du triangle équilatéral AGB, élevons, au plan de ce triangle, la perpendiculaire 10 coupant en 0 la hauteur GF. Le point 0 sera le centre de Ticosaèdre [G., 693].
Gela posé, si nous abaissons GH perpendiculaire à AB, et que nous menions HF, les triangles GIO, GHF donnent
GO jO
gh'^fh'
Or,
GO = R, 10 = r, CH=icl/3.
De plus, la droite HF, apothème du pentagone régulier ABGDE, a pour (^pression
^ j/iO — 2i^5
Remplaçant donc les lignes par leurs valeurs, dans la propor-
tioD ci-dessus, nous trouvons
On a aussi, comme précédemment,
Ces deux équations donnent* par un cakul raeile,
R==ic/îoTlî^, r = ;^c /6(7 + 3V^5).
Pr#MèBie XXIIT.
Connaissant le rayon R cTtine sphère^ iromjer ParéU t é\m polyèdre régulier inscrit, et le rayon r delà sphère inscrite à ce polyèdre.
Si Ton résout, par rapport à c et à r, les formules trouvées dans le Problème XXIII, on arrive aux résultats suivants :
Tétraèdre, c = -R 1/6, r =■ - R.
Hexaèdre, c = -R k3, r = - R k 5.
Octaèdre. c = RJ/â , r = ^ RKl.
Dodécaèdre, c =1 R(l/Ï5 — 1/3), r= R V .!, ^-
3 la
Icosaèdre. c = i-|/lO(6— I^S), r -= R V ^'*' •
DE 6É0MÉTRIB ËLtHEHTAlRE. 4»
Remarqtie. Le rayon de la sphère inserhe ayant ta même valeur pour le dodécaèdre et pour ricosaèdre» on voit que, si ces polyèdres sont inscrits à une naéme sphère, ils seront circonscrits aussi à une même sphère. La même propriélié subsiste pour rhexaèdre et Toctaèdre. Ces deux résoltats s'accordent avec ce que Ton sait sur les polyèdres conjugués [G., 698].
Trouver Vaire A et le volume V d'un polyèdre régulier y inscrit à une sphère dont le rayon est R.
Nous venons d'exprimer, en fonction de R, Taréte c du polyèdre régulier; sîdonc nous désignons par a Taire de chacune des faces, nous trouverons, par les formules connues [6., 349], les valeurs suivantes :
Tétraèdre, a = - c« l^3 = R«t/5; A=--R*l/3.
Hexaèdre, a = c' = - R* ; A == 8 R*.
Octaèdre, o =«i.c«V5«-il«kl; A=4RV3^ Dodécaèdre. a=j^c'
Aeioellement» multiplions k valeur de A |ar {r; nous aurons
494 THÊOEÈMES ET PROBLÈMES
le Yolume V du polyèdre; savoir :
Tétraèdre. V— -jR»l/S*lR=^R*i^.
Hexaèdre. V=8R«.1rI/5 = ?R»1/3.
Odaèdre. V « 4R*»/3 .- Rl/3=- R».
L«»^i^SriP5).-lR\/iïî^
Dodécaèdre. V =r 2R'
Jcoêaèdre. V = 2R*(5 1^5 — 1/45)
= |R»KïoTiv7i.
{/h« sphère variable S se meu^ en touchant continuellement trois sphères fixes A, By C, données de grandeur et de position. Quelle est la courbe décrite, sur chacune de celles-ciypar son point de contact avec la sphère mobile?
Soient a» 6, c les points où la sphère S» considérée dans une quelconque de ses positions» touche respectivement les sphères A9 B, C ; et, pour fixer les idées, supposons que celles-ci soient, deux à deux, extérieures Tune à Tautre , et que la sphère S les touche extérieurement.
Le point a est évidemment le centre de similitude inverse des sphères S, A ; de même, b est le centre de similitude inverse des sphères S, B ; donc la droite ab passe par le centre de similiuide directe des sphères A, B (Liv. III et Liv. VI).
Pour la même raison, la droite bc passe par le centre de similitude directe des sphères B, C, et la droite ca passe par le cenu^
ftE GËOHËTRIE ÉLÉHENTAIKE.
I de similitude directe des sphères C, A. Donc le plan des trois points de conisct a, b, c passe par l'axe de simililude direcie des sphères données. Il est évident, en oulre,quece plan coupe les quatre sphères suivant des cercles tels, que celui qui apparilenli S touche les iroisauires.
Soient abc, aa'a", bb'b", cc'c" ces quatre cercles. Soient, de plus, m, m', m" les centres de similitude dont il vient d'être question :
ces points sont, es même temps, les centres de similitude des trois derniers cercles, considért^s deux à deux.
Le point de contact a est sur la droite qui joint le centre radical o de ces mêmes cercles au pAle p de leur axe de similitude, ce pôle étant relatif au cercle aa'a" (Liv.in,Prob.XXVIII).
Or, le lieu décrit par le point p, quand le plan de la figure tourne autour de l'axe mtn'm", est la droite réciproque
410 THÉORÈMES ET PROBlJSHES, ETC.
de cet axe (Th. VII); et/ d*UD autre eAté, il est clair que le Um du centre radical o esi Taxe radical des sphères A» B, C Censégemment, le lieu du point a est la esreonférenee suivant laqaelie le plan de ces deux droites conpe k qphére A.
Les notaies raisonnements s*appliqaeraient aux lieux déerits par les points 6et c. On a done ce théorème :
Quand une sphère variabte S se mumi en Umchani ecnHnrnBt^ ment trois sphèt^s fixes A» B, C» Ip iKnc décrit sur dWrcnne ée celles-ci, par son point de comtmct mmc le première spkire, csf nn petit cercle dont le plan est perpemékmhire i tthri qm enUad feâ centres des trois sphère$ données (*)•
mtmmmmm^
(') Cette propriété remarqaaUe a été iécaanirte par DopaU, élère de l*École polytechnique, aMNrt aa «awagaggiaent de ce
