BC

SRR' " R -1- R' '

puis

V=3 ir __j[4(R* H-R'* -f. KR')- 5lR*^ R')- àRR'];

ou enGn

Remarque. Nous avons trouvé,.par le calcul, BC=B'C : il est facile de vérifier, géométriquement, que ces deux segments sont égaux.

Le litre, qui sert à memrer les liquides^ est un cylindre dam lequel la hauteur est double du diamètre de la hase^ et dont la capacité est de 1 décimètre cube. Calculer^ à moins de j^de tnt'Utmètrey les dimensions de ce corps.

Prenons pour unité le décimètre, et représentons par h la hauteur du cylindre^ nous aurons

d^où

II s'agit de calculer cette expression^ à moins de j^ d'unité. Multiplions les deux membres par 1000 :

nombre qu'il faut évaluer à moins d'une unité.

Le rapport du diamètre à la circonférence^ représenté par ^, est compris entre 0,3 183 098 et 0^3 183 099 : si nous adoptons le premier nombre, nous aurons

Cette valeur peut différer, de la véritable, d'environ 1600 unités. Hais cette erreur n'influe pas sur la racine cubique, attendu que celle-ci a quatre chiffres (*).

Extrayant donc la racine du plus grand cube contenu dans 5 092 956 800, on trouve 1 000 A = 1 720; d*où

A = iV20= 172— ,0.

Ainsi, la hauteur du litre =:172'"'"/0, et le rayon de la base = 43™-,0.

Pour vérifier les calculs précédents, opérons^par logarithmes; n«)us trouvons

]ogiG= i/i04i200

-log K ■= — 0,4971499

- = 0,2336567 = log h

Pr«lilèBie Tlll.

Les angles d'un triangle sphérique sont^ respectivement, A — 48M8', B = 63M2', Cn= 73*24';

le rayon de la sphère est R=a0"'^19. Calculer, à moins de 4 milli'mètre carrée la surface du triangle.

En prenant pour unités Tangle droit et le triangle trireetangle, on a, pour mesure du triangle [G., 745],

D*aprcs les données, la somme des trois angles est 184*54;

(*) Voyei le Manuel d* A rithméfique.

4M THÉOEtMBS ET FElHILÈliES

doue

Ainsi, le triangle proposé est équivalent aux ^ du triangle trireetangle.

D*un autre eôlé, le eentimètre étant pris pour unité. Taire de la sphère est Air (19)* [(?., 742]; eelle du triangle trireetangle est donc î^(19)^« P&r suite» Taire du triangle proposé a pour valeur

En opérant par logarithmes, on trouve

log ir = 0,49714987

log36l = 3,55750720

log 49 = 1,69019608

— log 1800 = — 3,25527251

log a « 1,48958064 a s= 30,873

La surface du triangle est donc d'environ 3 087 millimètres carrés.

rr^Mèaitt IX.

CircoMcriref à une tphère donnée^ un cône droit dont la surface totale soit équitxilente à celle d'un cercle donné (*).

Coupons les deux surfaces par un pian quelconque, passant

(*) Ce problème a|i|»artient, à proprement parler, à V Application del'Al- (fèbre à la GéomitrU, La même remarque s'applique à quelques-uns des problèmes suivants.

DE GÉOMÉTRIE ÉLÊUENTAIRE. ««

saîvanl l'ne du cône : nous obtiendrons, pour sections, un triangle isoscèle ASB, et un grand cercle CDE, inscrite ce triangle; en sorte que les deux corps dont il s'agit sont engendrés par le triangle rectangle CAS et le demi-cercle CDE, tournant autour de se.

Représentons par R, a, x, y, z le rayon OC de la sphère, le rayon du cercle donné, le rayon AC de ta base, la hauteur SC, et

rapoibèoM! AS du cane; nous aurons d'abord

Les trimigli's semblables ACS, ODS donnenl AC AS

ôô—ôs'

En considérant les mêmes triangles, et en observant que la tangente SD est moyenne proportionnelle entre SC et SE, nous

aurons encore

La relation (3) donne

Au moyen de cette valeur, l'équation (1) devient ■^— o'; et,

440 THÉORÈMES ET PRODLfeMES

à cause de Téqualion (3),

cl'où enfin

La somme des deux facteurs du premier membre est ^ ; leur produit est 2a*. Il Taut doiic, pour trouver la hauteur SG du cône, construire un rectangle équivalent à 2a^, et dans lequel la somme des deux dimensions soit^. La question est ainsi ramenée a un problème connu.

Remarques, — I. Pour que le problème soit possible, on doit avoir

4R«'^ ou

Si a*=8R*, y = ^=4R; et la surface du cône est un minimum.

H. Lorsque j/=4R, les équations (3) cl (2) donnent

x=«=Rl/2, z = 5R\/i.

Conséquemment, le cône de surface minimum , circonscrit à une sphère donnée, jouit des propriétés suivantes :

\^ La hauteur est double du diamètre de la sphère; 2^ L'apothème est triple du rayon de la base; 3* La surface est double de la surface de la sphère; i^ Le volume est double du volume de celle-ci.

En général, si un polygone ÂBCD, circonscrit à une demi-circonférence EF, et limité par un diamètre XY, tourne autour de celui-ci, le volume V du corps engendré et le volume V de la

DE GÉOMÉTRIE ËLtMENTATRE. 441

sphère sont respectivement égaux aux aires correspondantes A, A\ mullipliées chacune par le tiers du rayon OE. Donc

PMblèMe IL.

Couper une sphère par un plan, de manière que le segment sphérîque CADatf, avec le secteur sphèrique correspondant CADO> un rapport donné m.

Représentons par R, x, y le rayon de la sphère, la hauteur AE du segment vi le rayon CE de sa base.

Nous aurons

^ TTÎ/X-*- :. T'X'

^ rR«x

ou, en simplifiant,

4y« -4- x* = 4tt«m . . . . (I)

D*un auire côté, la perpendiculaire CE est moyenne proportionnelle entre les segments AE, BE du diamètre; donc

La substitution de cette valeur donne Téquation du second degré

x'— 3Rx-t.2R'm=:0, (3)

dont on construira facilement les racines. Quant à la discussion de cette équation, elle dépasse les limites que nous avons du nous prescrire. La même observation s'applique aux problèmes qui suivent.

THËORÈIIES ET PROBLÈMES

A une tphère donnée, interîre un cylindre ayant un rapport

donné m aoee la somme des deux negmenU iphêrique» adjacent».

Soient R le rayon de la splière, x le rayon EC de la base du

cylindre, y la moitié OE de la hauteur de ce

corps. On a

g^ac'y

ou

6rV-«CR-y)[3** + (R-y)T • (<)

D'ailleurs, dans le triangle rectangle OEC, a:*=R'— y".

L'éqtisiîon (1) devient donc

d'où, en supprimant le facteur commun R — y et en ordonnant :

Remarque, Le facteur R — y répond & j/=R, valeur <]ui, évidemmeni, ne convient pas au problènie.

rr«blèn* S».

À tme sphère donnée, inscrire un cône ABC équivalent au ugment tphérique adjacetU ABD.

Représentons par R le rayon de la sphère, par X le rayon de la base du cAnc , par y la hauteur DE du segment. Nous aurons

DB GÉOMÉTRIE ÉLÉMBNTAmE. 445

OU

Et comme x est moyen proportionnel entre y et 2R — y i

En supprimant le facteur y et en réduisant, on trouve

V — 7Ry H- 4R* « 0.

Cette équation donne

La première valeur est plus grande que 3R; elle doit donc être rejetée. La seconde seule salisfait à la question proposée.

Pr^blène Xlll.

Couper un triangle ABC par une parallèle DE d la base AB, de manière que les corps engendrés par les deux segments CDF, ABDE tournant autour de cette hase^ supposée fîxe^ soient équi" valents.

Soient CF=A et CG=x les hauteurs du triangle ABC et du

triangle DCE. Il faut, d'après Ténoncé, que le corps engendré par celui-ci soit équivalent è la moitié du corps engendré par Tautre triangle.

Or, on sait que le corps engendré pur un triangle tournant autour d'un axe situé dans son p\vù a pour mesure Taire de ce triangle, multipliée par la circonférence que décrit son centre des moyennes distances [C, 747] ; doue

vol. ABC « ABC.2jr~. vol. CDE =(:DE . 2ir i 1 •

M THÉORÈMES ET raOBtÈMES.

ODcondai, de res valeurs,