BG. DD'»»BD . CC' -«- CD . BB

(Lîv. III, Th. I) ; d'où

ex -*- 6v DD'= — i;

puis

ex -4- &t/

Au moyen de cette équation et de

on pourra déterminer x et y.

Si, par exemple, on remplace y par / — x, on trouve que Tinconnue X est donnée par Téquation du second degré :

2(6 — c)x*— 2(a ^ %)lx ^ (a n- 6 -♦- c)P= 0.

ProMène X¥.

D'un point pris sur la surface d'une sphère dont le rayon est R, comme centrcy décrire une surface sphérique telle, qfte la partie comprise entre les surfaces des deux sphères ait un volume donné.

Le corps intercepté entre les surfaces des deux sphères est une lentille biconvexe^ dont l'épaisseur est le rayon R' de la sphère

cherchée. Conséquemment, si nous désignons par m le rap|KMrl entre le volume de cette lentille et le volume de la sphère donnée, nous aurons, par la dernière formule du Problème V :

i wmR» « I ir^ [R'* - 4(R -4. ROR' -4- iîRR'];

d*où

3R'* H- 8RR'» H- i6mR* =» 0.

Telle est Téquation qui donnera le rayon R'. Pour la simplifier, posons ^- = x; nous aurons

Le lecteur h qui la théorie des équations est familière reconnaîtra sans peine que cette équation a deux nemes imaginaires; qu'elle a deux racines positives. Tune plus petite et Fautre plus grande que 2; etc.

PMMèBie XVI.

Trouver le rayon d'une sphère équivalente à la limite de la somme d'une infinité de sphères dont les rayons décroîtraient en progression par quotient.

Représentons par R le rayon de la première des sphères données, par q le rapport de deux rayons consécutifs , et par x le rayon de la sphère cherchée ; nous aurons, en remplaçant les sphères par les cubes de leurs rayons, ce qui est permis :

Les termes contenus dans la parenthèse forment une progression décroissante» dont la raison est fS. La limite de leur somme est, par la formule connue, jzrpf <loQC

Pr«blèBie TILWU.

A un cône droit ABD, on inscrit une première sphère 0 ; puis^ dans l'espace compris entre celle-ci et la surface latérale du cône, on inscrit une deuxième sphère 0'; et ainsi de suite indéfiniment. Quelle est la limite des volumes de toutes ces sphères?

Siy au triangle isoscèle ABD, section méridienne du cône, nous

inscrivons une circonférence CEC, cette ligne représentera la section faite dans la sphère 0, par le plan du triangle. Menons, par TextrémitéC' du diamètre CC, la tangente B'D', évidemment parallèle à BD ; nous obtiendrons un nouveau triangle isoscèle AB'D^ auquel nous pourrons inscrire la circonférence C'C", section méri* dienne de la deuxième sphère ; et ainsi de suite. Cela posé y joignons le point de contact E au centre 0; nous aurons

ou, en posant

BCc=

Cette proportion

doni

D'ailleurs, les rayons des sphères 0» & sont proportionnels aux hiuteurs AC, AC des cônes semblables circonscrits; donc

R 6— 2R La formule trouvée ci-dessus (Probl. XVI) donne donc, pour

la limiie des volumes de toutes les sphères^

A ( ab Y \

5 Xa-^ cj , /c — ay

\c -f- al

V=-ir

ou, enfin, à cause de c*=a*-4-6* :

2 aV

itemargue. Le rapport entre le volume V du cône et le volume V est

Cette fraction, qui se réduit à | quand a=0, diminue indéfiniment lorsque a devient de plus en plus grand. Ainsi, la somme de toutes les sphères 0, 0', 0'\.. est toujours moindre que les deux tiers du cône.

PrsMènie XTIll.

On suppose qu'après avoir formé une pile triangulaire de 6ouletSf on mène trois plans^ tangents aux trois faces de cette pile et formant, avec le plan horizontal d'appui, un tétraèdre régulier T. Quel est le rapport m entre la partie pleine et la partie vide de ce tétraèdre?

Représentons par n le nombre des boulets contenus dans le côté de la base de la pile, et par d leur diamètre commun ; le volume de Tespace occupé par tous les boulets, ou de Tespace plein, sera

(*) Manuel des candidats à VÉcole polytechnique.

DE GÉOMËTRIE ÉLÉMENTAIRE* 449

Considérons les centres des boulets placés aux angles de la première couche horizontale, ainsi que le centre du boulet placé au sommet de la pile : ces quatre points sont les sommets d'un tétraèdre régulier T'. De plus, on reconnaît facilement que Taréte de ce tétraèdre se compose de n — 1 fois le diamètre d'un boulet; en sorte qu'elle est représentée par g' =3(11 — l)d. Enfin, la distance comprise entre les faces correspondantes du tétraèdre T, égale le rayon d'un boulet» c'est-à-dire ~ d.

Soit maintenant r' le rayon de la sphère inscrite au tétraèdre T; nous aurons (Liv. VII, Probl. XXIU)

donc le rayon de la sphère inscrite à l'autre tétraèdre est

r sas r' -♦- - d,

dVl

Les deux tétraèdres sont entre eux comme les cubes des rayons des sphères inscrites. Le premier a pour volume

donc le volume du second est

Si, du volume total V, nous retranchons le volume t; trouvé ci-dessus, nous obtiendrons le volume t;' de l'espace vide; savoir

1;'=^ d»[3(n — i -i-»^)»»^2 — n(n 4- l)(ii H.2)irl.

Le rapport cherché est donc

5(n— \ -k- k^6)* 1^2 — n(n -♦- i) (n -I- 2)ir

Remarque. Quand « == 1 , «i «= — ^ — = 0,43 . . .

A partir de cette valeur, m croit indéfiniment avec le nombre n des boulets. La valeur limite s*obtient en supposant, dans la formule précédente , n infini. On trouve ainsi ,

limite dem = :;:: = 2,85...

Problème XIX.

Les milietÂX des arêtes éTun polyèdre régulier sont situés sur la surface d'une sphère S» à laquelle ces arêtes sont tangentes, et dont le centre est celui du polyèdre. De plus^ la sphère est coupée, par les faces du polyèdre, suivant des circonférences inscrites à ces faces.

Ceci admis y on propose d'évaluer, en fonction de rareté c du polyèdre, la somme des calottes sphériques ayant pour bases ces circonférences.

Soient R, r et p les rayons respectifs de la sphère circonscrite, de la sphère inscrite et de la sphère S.

Supposons que Ton joigne le centre commun 0 des trois sphères à un sommet A du polyèdre et au milieu C d*une arête aboutissant à ce sommet : on obtiendra ainsi un triangle ACO» rectangle en C, et dans lequel

OA=R, OC==:p, AC=-c;

donc

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 4ft1

Chacane des calottes sphériques dont il s'agit a pour hauteur p — r ; en sorte que Taire de cette calotte est représentée par 2ffp (f) — r). En supposant donc que n soit le nombre des faces du polyèdre, et en désignant par A Faire cherchée, nous aurons

A = 2nirp(p — r) (2)

Il ne s'agit plus que de substituer, pour R et r, leurs valeurs connues (Liv. VII, Probl. XXIII). On obtient ainsi les résultats suivants :

Tétraèdre, p*— - c' , A =» - tr (5 — k'o) c*.

Hexaèdre, p*=- c* , A = Znc

: p'=îc', A = *ir(3— l/6)c*.

Octaèdre

Dodécaèdre. p*= - (3 -i- \/b)c\

Icosaèdre. p« « -1 (V/ 5 -h 1 )* c\

A =57r [5 -♦- 1^5"— 2 /o-t-l/HJc».

Remarque. Prenons chacune des circonférences données pour base d'un cône ayant son sommet au centre du polyèdre. Si la surface de ce cône est prolongée indéfiniment, elle intercepte une partie de Tespace indéfini, partie à laquelle on donne le nom d'angle conique. Or, ainsi qu'on le démontre facilement, cet angle conique a pour mesure le rapport entre la calotte correspondante et la surface sphérique S. Nous aurons donc, pour la mesure a de la somme de ces angles :

La substitution des valeurs de r et de p donne ensuite les T^ullats suivants, pour les divers polyèdres réguliers :

Télruèdre. «=2(1 A-

Octaèdre. a = i [l =)■

Dodicaèdrr. » = 0 [l — i|/2 -i- Si^sJ-

leosaèdre. «=10 1 ^ |-

Calculer le rayon R de la tphére Mrcontcrile à un tétraèdre donné (*).

1* O étant le centre, déterminé par la construction connue [G., 64S], menons le diamètre SOD; puis, par le centre, le plan MNP, perpendiculaire à ce diamètre; traçons les droites AD, MO.

La section Taiie dans la'sphère, par le plan SAD. est la circonférence décrite sur SD comme diamètre; donc l'angleSADest droit.

La droite OS, perpendiculaire au plan MNP, est perpendiculaire i

i') D*apris VoK Stavdt.

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉHEIITAIRE. 408

OM; donc le quadrilatère HODA est inscriptible; et, en conséquence, SM.SA=SO.SD, ou

De même,

^„ 2R« ^^ 2RV,

sN™-~. sp=— -n.

SB se/ ^ •

Ainsi, chacun des quadrilatères ABNM, BCPN, CAMP est inscriptible.

3* La similitude des triangles SAB, SNB, résultant de cette remarque» donne