LIVRE II

Thé^rèBiea.

I. Les hauteurs d'un triangle ABC sont les bissectrices des angles du lriaDgleayant,pour sommets, les pieds de ces droites 27

II. Les circonférences qui passent par deux des sommets d'un triangle et par le point de concours des hauteurs , sont égales à la circonférence circonscrite au triangle 28

III. Si deux circonférences sécantes 0, O^ ont une double-corde commune BAB' :

1« Cette droite, et la distance des centres, sont vues, sous un même angle, du second point d'intersection M des circonférences;

2» La circonférence circonscrite au triangle BMB' a, pour centre, un point de la circonférence circonscrite au triangle OMO' ;

y* Les tangentes en B, B', aux circonférences 0, 0', concourent en un point D de la circonférence BMB';

4* L^angle BDB', sous lequel les circonférences 0, (ï sont vues» du point D, est ^al à Fangle de ces deux lignes. 30

IV. Si,d*oD point M, pris sur une circonférence, on mène les cordes MP, MQ, MR, respectivement perpendiculaires aux côtés BG, CA, AS d*an triangle inscrit, les uonvelies cordes AP, BQ , CR sont parallèles enire elles. ... 33

y. Les projections d'an point M d'une circonférence, sur les o6iés d'oo triangle inscrit, sont en ligne droite Si

▼I. Les projections obliques d*un point M d*une ciroonférenoe, sur les côtés d'un triangle inscrit , sont en ligne droite 34

YII. Soient A', B', G' les points oii les côtés BG, GA, AB d*an triangle ABG sont coupés par une transversale :

1* Les circonférences circonscrites aux triangles AB'G', BG'A', CA'B' se coupent en un même point H;

3» Les points A% B', G' sont les projections {obliques ou orthogonaUê) df M, sur les côtés du triangle donné;

3* Les points M, A', B', C' appartiennent à une même circonférenoe . . 34

TlII. Si Ton considère les triangles formés par quatre droites D^, D,, D, , D4, prises trois à trois, et les circonférences circonscrites à ces triangles : t« les quatre circonférences se coupent en un même point M; 2* les centres 0|, 0,, Os, O4, et le point M, sont sur une même circonférence .... 35

IX. La droite de Simson est parallèle aux cordes AP, BQ, GR qui joignent les sommets du triangle ABG, aux extrémités des cordes MP, HQ, MR, respectivement perpendiculaires aux côtés BG, GA, AB 36

X. La droite de Simson divise, en deux parties égales, la droite menée, du point donné, au point où concourent les hauteurs du triangle 37

XI. Les bissectrices des angles formés par les côtés opposés d*un quadrilatère inscriptlble, sont perpendiculaires entre elles 38

XII. Dans tout quadrilatère inscrit, ayant ses diagonales perpendiculaires entre elles, la perpendiculaire, menée i Tun des côtés, du point dMnterseclion des diagonales, passe au milieu du côté opposé 58

XIII. Les circonférences qui ont pour cordes les côtés d*un quadrilatère inscriptlble, donnent lieu, par leurs nouvelles intersections, à un quadrilatère inscriptible 89

XIV. Les points de concours des hauteurs des tiîangles déterminés par les sommets d'un quadrilatère inscriptible, sont les sommets d*un quadrilatère égal au premier. 39

XT. Un poljgone inscrit, de n côtés, étant décomposé en triangles, au moyen de diagonales, les points de concours des hauteurs dé ces triangles

sont situés, n — 2 à n~ 2, sur * 7" ' circonférences, symétriques de la circonférence donnée, relativement aux côtés ou aux diagonales du polygone. 40

XVI. D'un point M, appartenant à une circonférence, Ton mène trois

cordes MA, MB, MC; sur ces droites, prises comme diamètres, on décrit trois circonférences : les points P, Q, R, ob ces lignes se coupent deux à deux, sont situés sur une même droite 41

XTII. Si , par le point de contact de deux circonférences , on mène deux doubles-cordes, les droites qui joignent les extrémités de ces cordes sont parallèles 4i

XVIII. Si , par le point d^inlersection de deux circonférences, on mène deux doubles-cordes, les droites qui joignent les extrémités de ces cordes, font entre elles un angle constant. 43

XIX. Si, à un cercle I, inscrit à un angle 0, on mène des tangentes inléri&ures ou extérieures : l' les tangentes intérieures AB déterminent des triangles ayant même périmètre; 2« les tangentes extérieures CD déterminent des triangles dans lesquels l'excès du demi-périmèlre sur le côté CD est constant; S<> en joignant le centre aux extrémités des tangentes extérieures ou intérieures, on forme des angles constants pour chaque espèce de tangente ; 4" les angles au centre, pour la tangente extérieure et pour la tangente intérieure, sont supplémentaires 45

XX. 1" Les segments déterminés, sur les côtés d'un triangle, par les points de contact du cercle inscrit et d*un des cercles ex-inscrits, sont égaux, chacun, au demi-périmètre moins un côté ; 2* la somme des seg*ments est égale au demi-périmètre 44

XXI. I, 1', l", I'" étant les centres du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits à un triangle ABC : 1« Les circonférences décrites sur ir, ou sur l'T" comme diamètres, passent aux sommets B, C; S<> les circonférences décrites sur 11" ou sur IT", comme diamètres, passent aux sommets C, B; ^ les circonférences décrites sur II"' ou sur FI", comme diamètres, passent aux sommets A^B; 4<> toutes ces circonférences ont leurs centres, sur la circonférence circonscrite; 5<» les cordes A'B', B'C, C'A' sont, respectivement, perpendiculaires sur les milieux des droites CI, AI, BI 4G

XXII. Dans tout triangle, la somme des rayons des cercles ex-inscrils est égale au rayon du cercle inscrit, augmenté de quatre fois le rayon du cercle circonscrit 47

XXIII. Dans tout triangle, la somme des rayons du cercle insa'il et du cercle circonscrit est égale à la somme des distances des côtés au centre du cercle^circonscrit 48

XXIV. Si, par le centre 0 d'un cercle, on élève, à un rayon OA, la perpendiculaire OC égale à la corde AB d'un arc ABD ; Tare décrit du point C comme centre, avec une ouverture de compas égale au rayon du cercle, divise en deux parties égales Tare donné 48

XXV. Étant donnés une circonférence 0 et un rayon prolongé OA ; si, au point A, on mène une perpendiculaire AB à ce rayon, et une sécante

ADE à la circonférence; pais qae, par les points d*2Dtersectioa D, E, on mène des tangentes DC, EB, ces droites déterminent, par leurs intersections avec la perpendiculaire, deux distances égales AB, AG 49

XXVI. Si ABCD est un quadrilatère inscrit, les centres M, N, P,Q, des cercles inscrits aux triangles ABC, ABD, ACD, BCD, sont les sommets d*un rectangle 50

XXVII. Si Ton droonscrit des circonférences aux triangles formés par chacun des côtés d*un pentagone et les prolongements des côtés a<j|jacenis, les cinq points d*intersection de ces lignes sont sur une même circonférence 50

XXVIII. A', B\ G' étant les projections d*un même point M, sur les côtés BC, CA, AB d*un triangle ABC ; les perpendiculaires abaissées, des smnmets A, B, G, sur B'C', C'A', A'B', concourent au point M% symétrique de M, relativement au centre 1 de la circonférence circonscrite au triangle A'B'C' 5î

XXIX. Soient AO, BO, CO les bissectrices des angles intérieurs d'un triangle ABC; soient a. b, c les symétriques, relativement à ces droites, d'un point donné M : les droites Ao, B6, Ce concourent en un point M', symétrique de M relativement au centre I de la circonférence passant par les projections A', B', G', de H, sur les côtés du triangle ABC 53

XXX. Si trois droites D, E, F, tangentes communes à trois circonférences A, B, G, prises deux à deux, concourent en un point R; les tangentes communes D', E', F', coigaguées des premières, concourent en un point R'. 53

XXXI. Des cordes qui joignent un point d'une circonférence, aux sommets d'uu triangle équilatéral inscrit, la pins grande est égale à la somme

des deux autres 53

ProMèaie*.

I. Trouver la bissectrice de Tangle de deux droit<^s qu'on ne peut prolonger 56

II. Deux circouférences qui se coupent étant données, mener, par l'un

des points d'intersection, une double-corde qui ait une longueur donnée. . 56

III. Inscrire, entre deux circonférences données, une parallèle ^ une droite donnée, qui ait une longueur donnée 57

IV. Par deux points donnés sur une circonférence, mener deux cordes parallèles, dont la somme soit donnée 57

V. Construire un triangle, connaissant un angle, la hauteur correspondante et le rayon du cercle inscrit .'••.. 58

YI. CoDSlmiFe un iriaogle, coonaissaDt U base, la somme des deux autres o6tés, et un angle à la base 58

TU. Construire an triangle, connaissant la base, la différence des deux autres côtés» et un angie à la base 99

YIII. Construire un triangle, connaissant un angle à la base, la hauteur et le périmètre SO

IX. Construire un triangle, connaissant la base, l'angle opposé, et la somme des deux derniers côtés 59

X. Construire un triangle, connaissant la base, Tangle opposé, et la différence des deux derniers côtés 00

XI* Construire un triangle, connaissant la base et le cercle inscrit. . 60

[. Construire un triangle, connaissant le cercle inscrit, et Tun des trois cercles ex-iBScrtts 61

XIII. Construire un triangle, connaissant deux des trois cercles exinscrits 61

XIV. Construire un triangle, connaissant les centres des trois cercles ex-inscrIts ^ 6S

XV. Construire un triangle, connaissant la base, Pangle opposé, et le rayon du cercle inscrit 63

XVI. Construire un triangle, connaissant le périmètre, un angle, et le rayon du cercle inscrit 63

XVn. Construire un triangle, connaissant la base, la somme des deux autres côtés, et le rayon du cercle inscrit 63

XVIII. Construire un triangle, connaissant la base, la différence .des deux autres côtés, et le rayon du cercle inscrit 63

XIX. Construire un triangle, connaissant le périmètre, un angle, et la hauteur abaissée du sommet de cet angle sur le côté opposé. 64

XX. Construire un triangle, connaissant les longueurs de la médiane,

de la bissectrice et de la hauteur, issues d*un même sommet 65

XXI. Construire un triangle , connaissant les longueurs de la bissectrice et de la hauteur, issues d'un même sommet» ainsi que le rayon du cercle circonscrit 65

XXII. Construire un triangle équilatéral dont les sommets soient situés sur trois parallèles données 66

XXIII. A un triangle donné, circonscrire un triangle égal à un triangle donné • • 06

4e8 TABLE DES MATIÈRES.

XXIV. A ao triangle donné, circonscrire un triangle éqoilatéra! maximum 67

XXY. Par on point donné, mener une sécante qui forme, avec les deux côtés d'nn angle donné, un triangle dont le périmètre soit donné. . . d8

XXVI. Étant donné un triangle ABC et un point 0 ; mener parce point une sécante OMN telle, que le segment MN, compris dans Tangle A, soit égal

i( la somme des deux segments BM, CN 68

XXVII. Construire un quadrilatère, connaissant deux angles opposés,

les diagonales et leur angle 69