LIVRE II

Les hauteur» AM, BN, CP, d'un triangle ABC, lont les bissectrices des angles du triangle MNP ayant, pour sommets, les pieds de ces droites.

Soit O le point de concours des hauleiirs (Liv. I , Th. I). A Ciiusedes angles droits en M,N, P, les circonférences décrilcs sur les droites OA, OB, OC, prises comme diamèlres, passent, chacune, par deux des points M, N, P [G., 189].

Cria posé, les angles OMP, OBP sont égaux, comme ayant pour mesure la moiiic de l'nrc OP. Pour lii même raison, OMN = OCN.

Mais les angles OBP, OCN, complémenls de B.\C, sont égaux; donc OMP = OMN. Ainsi, la hauteur AM esl la bissectrice de rangle PMN.

Même démonstrolion pour BNet CP.

Remarques. — I. Ce lliéorème est la réciproque d'une proposition connue [G., 111], que l'on peut énoncer ainsi :

Les bissectrices MO, NO, PO, des angles intérieurs d'un triangle MNP, sont les hauteurs du triangle ABC formé par les bissec' Irices des angles extérieurs du premier triangle.

l\. De