MP=.0MN = 1'— A

on conclut

PMN = 2' - 2A.

38 TUÉORÈHES ET PROBLÈMES

Ainsi, les angles du triangle MNP sont les suppléments, respectifs, des doubles des angles du triangle ABC.

III. Le point O, où concourent les hauteurs du triangle ABC, est le centre du cercle inscrit au triangle ayant, pour sommets, les pieds de ces droites [G-, 160].

IV. Les sommets A, B, C, du premier triangle, sont les centres des cercles ex-inscrits au second [G., 161],

V. Le triangle MNP est, parmi tous les triangles itiscrits à ABC, celtii dont le périmètre est minimum (Lïv. I, Prob. XII). On a ainsi une nouvelle solution de ce problème.

Les circonférences qui passent par deux des sommets d'un triangle ABC et par le point de concours H des Itauleurs, sont égales à la circonférence circonscrite au triangle.

Les angles BAC, BHC sont supplémentaires, comme ayant les

côtés respectivement perpendiculaires ; donc l*arc BDC est capa* ble d'un angle égal à BAC ; donc il est égal à Tare BAC ; etc.

Remarques. — I. Chacune des circonférences BHCD^ GH AE , AHBF est symétrique de la circonférence ABC , relativement à Fun des côtés du triangle.

II. Les parallèles aux côtés AB, AC, menées par les sommets C, By se coupent sur la circonférence BHCD, parce que Tangle de ces droites est le supplément de BAC. De là résulte que le triangle DEF, dont les côtés, parallèles à ceux du premier triangle, passent aux sommets de celui-ci, a ses sommets sur les circonférences BCD, ACE, ABF.

m. L'angle HCD étant droit, HD est un rayon de la circonférence circonscrite au triangle DEF (Liv. I, Prob. 1); donc cette circonférence DEF, qui a pour centre le point H, est circonscrite au système des circonférences BCD, CAE, ABF.

En outre 9 les six cordes AE, AF, BF, BD, CD, CE sont égales.

IV. La diagonale AD du parallélogramme ABDC ; la droite OO', qui joint les centres des circonférences symétriques ABC, BDC; et le côté BC, se coupent en leur milieu commun 6; donc GO' = GO = 7 AH. Ainsi, dans tout triangle, la distance d'un sommet, au point de concours des hauteurs, est double de la distance du côté opposé, au centre du cercle circonscrit.

V. Les droites AH, 00', étant égales et parallèles, les rayons AO> HO' sont parallèles.

VL Si le triangle ABC est rectangle en A, le point II se confond avec A ; les circonférences BAC, BCD coïncident. Etc.

Tlié«r*Me Hl.

Si deux circonférence» técante» O, 0' ont une dauble-corde (*) commune BAB' :

1° Cette droite, et la distance des centres, sont vues, sous un même angle, du second point d'intersection M des circonférences;

2" La circonférence circonscrite au triangle BHB' a, pour centre, un point de la circonférence circonscrite au triangle OMO';

5° Les tangentes en B, B', aux circonférences 0, 0', concourent en un point J) de la circonférence BHB' ;

4° L'angle BDB', sous lequel les circonférences 0, 0' sortt vues, du point D, est égal à l'angle de ces deux Utptes.

1* Si l'on trace les rayons AO, MO, l'angle AOM est le double de ABM; donc