LIVRE III

ThéorèBiea.

I. Lorsqu'une droite ÂB est partagée en deux segments AC, BC, propor^ tionuels aux nombres a, b; si des points A, B, C on abaisse, sur une droite quelconque XY, des perpendiculaires AA', BB', CC, Ton a

(a -*-&)€€'= a. AA'-*-6.BB' 83

II. Étant donné un système de points A, B, G..., on peut toujours déterminer un point tel, que sa dislance à une droite quelconque soit égale à la moyenne arithmétique entre les distances de la même droite, aux points

III. La somme des carrés des distances de n points A, B, C, ..., à un point quelconque S, est égale à la somme des carrés des distances des mêmes points à leur centre 0, augmentée de n fois le carré de SO . . 86

IV. Le lieu géométrique des points tels, que la somme des carrés des distances de chacun, à des points donnés A, B» C, .... soit constante, est tue circonférence qui a pour centre le centre des moyennes distances des points A, B, C, 87

Y. Dans tout triangle, le point de rencontre des trois hauteurs, le centre des moyennes distances, et le centre du cercle circonscrit, &out sur une même droite. De plus, la distance des deux premiers points est double^de la distance des deux derniers. .• 87

VI. Si les sommets d'un triangle sont symétriques du centre d*une circonférence, par rapport aux côtés d*un triangle inscrit : \^ ces triangles sont égaux et ont les côtés parallèles, chacun à chacun ; ^^ le centre du cercle circonscrit à l'un des triangles , est le point de concours des hauteurs de Tautre; 3<» les deux triangles sont symétriques par rapport an milieu de la droite qui joint les centres des deux cercles 88

VII. Soient ABC, A'B'C deux triangles semblables; soient D, E, F les intersections des côtés homologues AB et A'B', BC et BX', CA et C'A' : !• les quadrilatères DBFB', ECDC, FAEA', sont inscriplibles; 2« les circonférences DBFB', ECDC, FA E A' se coupent en un même point S, centre de similitude

des triangles donnés 89

VIII. Si, par les sommets A, B, C d'un triangle, ou mène les droites AD,

TiOlLB DES MATIÈRES. 47f

BE, CF, ^kmant iDclioées sar les c6tés opposés, le triaDgle À'B'C, formé

par ces transversales, est semblable an triangle donné 90

IX. Tonte transTersale détermine, sur les côtés d*an triangle, six segments tels, que le produit de trois segments non consécutifs est égal au prodait des trois autres 92

X. Trois droites, issues des sommets d'un triangle, et concourant en an même point, déterminent, sur les côtés du triangle, six segments en inyolution 93

XI. Si les droites qui joignent les sommets correspondants de deux triangles se coupent en un même point, les points de concours des côtés opposés sont en ligne droite 04

XII. Si trois droites, issues d'un même point 0, rencontrent, en A, B,C et en A', B', C deux transTcrsales, on a

®Ç. !^^£L, BO jlB ^ B'C ' A'O ""C'A' * B^" A'B' " C'O

XIII. Soit A'BX' un triangle inscrit à un triangle ABC, de manière que les droites AA', BR', CC concourent en un même point I. Soit M un point quelconque. Les droites AM, BM, CM, déterminent, sur B'C, C'A', A'B', six segments en involutlon 06

XIV. Si les côtés d*un polygone quelconque sont coupés par une transversale, le produit des segments non consécutifs est égal au produit des autres segments 97

XV. Si, par un point, pris dans le plan d'un polygone quelconque, d*un nombre impair de côtés, on mène, à chaque sommet, une droite qui partage en deux segments le côté opposé , le produit des segment^; qui n'ont pas d*extrémitéscommunesest égal au produit des autres segments 98

XVI. Si Ton considère, sur les côtés du triangle ayant pour sommets les centres de trois circonférences, les trois centres de similitude internes et les trois centres de similitude externes : 1* les trois centres internes sont en inyolution; 3 deux centres internes et un centre externe sont en involutlon 100

XVII. Toute parallèle à Pun des rayons d*un faisceau harmonique est partagée en deux parties égales par les trois autres rayons 101

XVIII. Si Ton mène, dans un faisceau harmonique, une traqsversale quelconque, elle est coupée harmoniquement par les quatre rayons. ... 102

XIX. Deux points réciproques quelconques partagent harmoniquement

le diamètre qui les contient 102

XX. Lorsqu'une droite AB est partagée harmoniquement en C, D, la chv

coofércnee, décrite sur AB comme diamëlre, coope orthogonalement toam les dreonléreiices pissauit pur les poinU G, D 193

XXL Les distaDoes d*taii point qneleoiMiiie d'eue dreonfémoe, i den poiBis réciproques* sont dans no rapport constant IM

XUI. Le sommet d*nn angle droonscril a pour polaire la corde de coniact - . . • 104

XXIII. Le pôle de toute droite passant par on point, est sor la polaire de ce point 105

XXIT. La polaire de toat point pris sur une droite passe par le pôle de celle droite 105

\X\. Tonte corde, menée par an point, est divisée harmoniqneHMnt par ce point et par sa pobire 106

XXVI. Étant donné on polygone P, on peut loiûonrs constniire on polygone P' tel, que les sommets de V un des polygones soient les pôles des côtés de l'autre, relativement à nu oerde donné 100

XXTII. Si,d*un point qndconqne, on mène des droites aux sommets d'un triangle et des perpendiculaires à ces droites; qa*on prolonge chaque perpendiculaire jnsqu^à ce qu'dle rencontre le côté opposé an sommet correspondant ; les points, ainsi obtenus • sont sur une même droite ... 107

XXVIII. Dans tout hexagone inscrit au cercle, les points de concours

des côtés opposés, sont sur une même droite lOS

XXIX. Dans tout pentagone inscrit, les points de concours de deux paires de côtés non consécutifs quelconquifs. et cdui do dnquième côté avec

la tangente au sommet opposé, sont tous trois en ligne droite 110

XXX. Dans tout quadrilatère inscrit, les points de concours des côtés opposés, et ceux des tangentes aux sommets opposés, pris deux à deux, sont tous quatre en ligne droite 110

XXXI. Dans tout quadrilatère inscrit, le point de concours de deux côtés opposés, et les points de concours des tangentes menées aux extrémités de Tun de ces deux côtés, avec les deux autres, sont tous trois en ligne droite 110

XXXII. Dans tout triangle Inscrit, les points de concours des côtés avec

tes tangentes aux sommets opposés, sont sur une même droite 110

XXXIII. Dans tout hexagone circonscrit au cercle, les diagonales, menées par les sommets opposés, se coupent en un même point 110

XXXIV. Dans tout pentagone drconscrit, les diagonales menées par deux paires de sommets non consécutifs quelconques, et la droite qui joint

le cinquième sommet an point de contact du côté opposé, concourent tontes trois en un même point Ml

3[XXy. Dans tout quadrilatère circonscrit, les droites menées par les points de contact des côtés opposés, et les diagooales, concourent en un même point 111

XXXTl. Dans loui quadrilatère circonscrit, la droite menée par les sommets de deux angles opposés, et les droites qui Joignent les points de contact des côtés Tonnant Tun de ces angles, avec les deux autres sommets, concourent tontes trois en un même point. 111

XXXTII. Dans tout liiargle circonscrit, les droites menées des sommets, aux points de contact opposés, concourent en un même point .... 112

XXXVIII. Le lieu géométrique des points d*égaie puissance, par rapport à deux circonférences, est une perpendiculaire à la ligne des centres. 113

XXXIX Les axes radicaux de trois circonférences, considérées deux à deux, se coupent en un même point 114

XL. Le lieu des centres des circonférences qui coupent orthogonalement deux cercles donnés, est Taxe radical de ces cercles 115

XLI. L*axe radical de deux cercles est également distant des deux polaires de chaque centre de similitude 116

XLII. Le centre radical de trois cercles est le centre commun des huit hexagones ajrant pour côtés les polaires des six centres de similitude, pris trois à trois 116

XLIII. Lorsque deux circonférences sont orthogonales, la polaire d*un point M de la première, par rapport à la seconde, passe par le point M' diamétralement opposé à M 117

XLI Y. Le lieu des points réciproques d'un point donné M, relativement i toutes les circonférences ayant même axe, est la circonféreoce orthogonale aux circonférences données, passant par le point M IIS

XLT. 1" Le lieu des points M tels, que les polaires de chacun dVux, par rapport ft trois cercles donnés, se coupent en un même point P, est I a circonférence 0, orthogonale à ces cercles; 2« le Heu des points P est la même circonférence 0; 9* le centre de cette circonférence est le centre radical des cercles donnés; 4« les points M, P sont diamétralement opposés. 118

XLTI. Trois cercles étant donnés, si Ton trace une circonférence ayant même axe que deux d^entre eux et touchant le troisièmct les six points de contact ainsi obtenus coïncident avec les points où les circonférences données coupent la circonférence orthogonale 118

XLVII. Le point de rencontre 0 des hauteurs d*un triangle ABC est : i* le centre radical des circonférences ayant pour diamètres les côtés du

474 TABLE DES HATIÈRES.

triangle; 2* le centre radical des circonférences ajant pour diamètres les segments OA,OB, OC des hanteurs 119

XLviH. Dans tout quadrilatère complet, les circonférences décrites snr les diagonales comme diamètres, étant prises deux à deux, ont même axe radical tl9

XLIX. Les points de rencontre des hauteurs des triangles déterminés par les c6tés d'un quadrilatère complet sont situés snr une même droite . . 120

L. Dans tout quadrilatère complet, les milieux des trois diagonales sont en ligne droite 420

LI. Si, d'un point quelconque, on mène des droites aux sommets d'un quadrilatère et des perpendiculaires à ces droites :

I* Les points où la perpendiculaire répondant à un sommet coupe les droites qui joignent deux à deux les trois autres sommets sont, trois à trois, sur quatre droites;

2* Ces quatre droites concourent en un même point 121

LU. Dans tout quadrilatère complet, chacune des diagonales est partagée harmoniquement parles deux autres. 121

LIII. Dans tout quadrilatère inscrit, le point de rencontre des diagonales, et les points de concours des côtés opposés, forment un triangle dont chaque sommet est le pôle du cèté opposé 122

LIV. Dans tout quadrilatère complet circonscrit, chacune des diagonales est la polaire du point dUntersection des deux autres 123

LV. Si deux quadrilatères sont Pun inscrit et Taulre circonscrit à un même cercle, de manière que les sommets du premier soient les points de contact des côtés du second : i^ les points de concours des côtés opposés de ces quadrilatères sont situés sur une même droite ; 2» les diagonales du quadrilatère inscrit et celles du quadrilatère circonscrit se coupent en un même point, pôle de cette droite ; 3" les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit sont situés sur les diagonales du quadrilatère circonscrit. 134

LVI. Si une première droite partage proportionnellement deux côtés opposés d*un quadrilatère, et qu'une seconde droite partage proportionnellement les deux autres côtés ; chacune de ces droites est divisée, par l'autre, dans le même rapport que les côtés qui déterminent celles-ci 124

LYII. Par le centre d'une circonférence inscrite à un angle œXy^ on élève la perpendiculaire à la bissectrice, et Ton mène ensuite une tangente quelconque: ces deux droites déterminent, sur les côtés de Tangle, des segments dont le rectangle est constant 126

LTIII. Les segments déterminés sur deux côtés opposés d'un quadrilatère circonscrit, par le diamètre perpendiculaire à la bissecuice de l'angle formé par ces côtés, sont inversement proportionnels. . .' 127

LIX Dans tout quadrilatère circonscrit, la droite qui joint les milieux des diagonales, passe par le centre du cercle 137

LX Dans tout quadrilatère droonscrit :

1* La droite MN, qui joint les milieux des diagonales, divise, en segments inversement proportionnels» les côtés opposés;

2* La partie de cette droite, comprise entre deux côtés opposés, est partagée, par le centre du cercle inscrit, proportionnellement k ces côtés;

3* Les segments de la droite MN, déterminés par Tune des diagonales et par les côtés, sont en proportion 128

LXI. Dans tout quadrilatère inscrit, dont les diagonales sont rectangulaires, la somme des carrés de deux côtés opposés est équivalente au carré du diamètre 130

LUI. La somme des carrés de deux cordes perpendiculaires est égale à huit fois le carré du rayon, moins quatre fois le carré de la distance du centre an point dMntersection des cordes 130

LXIII. Soit AP Pune des hauteurs d'un triangle ABC. Si Ton projette le

point P sur les côtés AB, AG, en D, E, et que Ton trace la droite DE, on

aura