BG SR

R étant le rayon du cercle circonscrit 130

LXIT. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, les distances des points A, P, à la droite DE, sont données par les formules

AM»|^9 PN«-j^- 131

LXV. Soient AP, BQ, CR les hauteurs d*un triangle ABC. On projette chacun des points P, Q, R sur les deux côtés opposés, en D et E, F et G, H et K. L*hexagone DGHEFK, inscrit au triangle ABG, jouit des propriétés suivantes :

1* Les diagonales qui joignent les sommets opposés, sont égales;

2* Les côtés opposés sent parallèles:

3* Les sommets appartiennent k une même circonférence ;

4* En outre, cette circonférence est concentrique avec le cercle inscrit au triangle formé par les diagonales 133

LXVI. Dans tout quadrilatère inscrit, les distances du point d*lutersection des diagonales, à deux côtés opposés, sont proportionnelles à ces côtés. 194

LXVII. Dans tout quadrilatère inscrit, dont les diagonales sont rectangulaires» la distance du centre, à un côté, égale la moitié du côté opposé. . 134

LXyiIi SI le quadrilatère ABGD se déforme, en tournant autour du point fixe M, de manière que les diagonales AG,BD, supposées rectangulaires, se croisent constamment en ce point M : 1' Les milieux des quatre côtés

476 TABU5 DES MATliEES.

décriTOit une droooféreiiee ajrant sod eentie an miliea I de MO; S* ckaqw Médiane, telle qne EF, est no diamètre de œtte drooDférence; 3f* le rajoa B' de celle-ci est donné par la fonnole

4R'«= iR« -ïô' 155

L XIX. Soit ABCD nn qoadribtère inscrit, dont les diagonales sont recUngnhires. Si l'on projette, 5nr les côtés, rinterseclion M des diagonales, et qn^en prolonge cbaqne droite de projection jnsqn^à sa rencontre avec le côté opposé an cftté perpendicnlaire k cette droite : f • les hait points ainsi obtenus appartiennent i nne même circonférence; 3* le centre et le rayon de cette circonférence dépendent, oniqnenient, de la droonCérence ABCD ei de la positiondu point M 13S

LXX. Soit ABCD un quadrilatère inscrit, dont I es diagonales sont reefangnlaires. Si Fou projette, snr les côtés, Tintersectlon des diagonales, les projections A', B^, C% D', sont les sommets d*an quadrilatère drconscriptiMeetinscriptible. 137

LXXI. Les mêmes choses étant posées qne dans le théorème précédent, les quadrilatères ABCD, k'VCH^ sont entre eux cooune les rayons R, r^ . . 138

LXXII. Si Ton joint les sommets A, B, G d*un triangle i un point intérieur 0, par les droites AOA', BOB', COC', on a

OV OB' 0C; .-g

AA' ■*■ BB* ■•" ex:' ^

LXXIII. Soient, sur le côté AB d*on triangle ABC, D. P, F, F' les points de contact du cercle inscrit et des cercles ei-inscrits : la somme des canes des distances du sommet A, i ces quatre points, est égale à b sooune des carrés des côtés 139

LXXIV. Si d*un point, pris dans le plan d'un triangle, on abaisse des fierpendiculaires sur les trois côtés, on détermine six segments tels, que la somme des carrés de trois d*entre eux, qui n*ont pasd^extrémltés communes, est égale à la somme des carrés des trois autres 140

LXXV. Si l'on joint le sommet A d*on triangle, i un point quelconque M de la base BC, on a

Âb'.CM-4-ÂG*.BM s(AmVbM.CM).BC 141

LXXVI. Dans tout triangle, la disunce des centres de la droonférenoe inscrite et de la drronféreuce droonscrite, est moyenne proportionuelle entre le rayon de celle*d et l'excès de ce rayon sur le double du rayon de la première 141

LXX VII. Dans tout triangle, la distance des centres d*une des droonfèrences ex-inscrites et de la drcooférence drconscrite, est moyenne proportionnelle entre le rayon de celle-d et la somme de ce rayon et du double du rayon de la première 144

LXXyilI. Dans tout triangle, uo côté quelconque est moyeu proportionnel entre la somme des rayons des cercles ex-inscrits, tangents aux prolongements de ce côté, et Texcès du rayon du troisième cerole circonscrit, sur le rayon du cercle inscrit 144

LXXIX. Dans tout triangle, la somme des carrés des distances comprises entre le centre du cercle circonscrit et les centres des cercles tangents aux trois o6tés, est égale à douze fois le carré du rayon du cercle circonscrit . • 146

liWX. Dans tout triangle, le carré de la distance comprise entre le centre du cercle circonscrit et le centre des moyennes distances, est égal au carré du rayon de ce cercle, moins le neuvième de la somme des carrés des côtés. 147

LXXXI. Dans tout triangle, la somme des carrés des distances des sommets, au centre du cercle inscrit, est égale à la somme des carrés des côtés, augmentée de trois fois le carré du rayon du cercle inscrit, et diminuée du carré du demi-périmétrc 148

LXXXII. Dans tout triangle, la somme des carrés des distances des sommets, au centre du cercle inscrit, est ^l à la somme des rectangles des côtés, diminuée de douze fois le rectangle des rayons du cercle inscrit et du cercle circonscrit. . 149

LXXXIII. Dans tout triangle, la somme des carrés des distances des sommets, au centre d'un cercle ex-inscrit, est égale à douze fois le rectangle des rayons de ce cercle et du cercle circonscrit, plus le rectangle des côtés adjacents à Tangle auquel est opposé le cercle ex-inscrit, moins la somme des rectangles de chacun de ces côtés et du troisième 149

LXXXiy. Dans tout triangle, la somme des carrés des douze droites qui joignent les sommets aux centres des cercles tangents aux trois côtés, est égale à quarante-huit fois le carré du rayon du cercle circonscrit 150

LXXXT. Dans tout triangle, le carré de la distance comprise entre le centre du cercle inscrit et le centre des moyennes dislances, est égal au carré du rayon de ce cercle, augmenté des deux neuvièmes de la somme des carrés des côtés, et diminuée du douzième du carré du périmètre 150

LXXXYI. Dans tout triangle» le carré de la distance comprise entre le centre du cercle inscrit et le point de concours des hauteurs, est égal à quatre fois le carré du rayon du cercle circonscrit, plus deux fois le carré du rayon du cercle inscrit, moins la demi-somme des carrés des côtés. . . 151

LXXXVn. Dans tout triangle, les carrés des rayons des cercles tangents aux côtés, augmentés des carrés des côtés, donnent une somme égale à seize fois le carré du rayon du cercle circonscrit 155

LXXXVni. L*in?erse du rayon du cercle inscrit à un triangle, est égal à la somme des inverses des trois tiauteurs . • 154

LXXXDL Si d*nn poinr A, pris dans le plan d*uD angle, on mène des

i«,âV,Anr,j

XCL Si ks eftiés

le

b-» ^,'- -- -^ OraiBKffCBOC CK

r BM tiXKTemley le npfMvl ;

dèbtiMsvcffale 19

l^CTTI Le ficB des poiats lédproqaes des poiats â ■■ eerde doaaé. ea

XCIT. Le lieH des poiBls réd|ira|Bei d* tiYCflMsla m

%CW. Dm deax fgw«i rgcitwoqfB, les

Kl

XCTL A, B élaol denx points d^me figore, eC A', B" les poôds pondaals de b figore féciproqae; oa a, eo appebM R le njam da eerde

ILCVn. Si, Iboo cercle I, inscrit à an angle JEOyjOOBièoenaeUageBle estérieore quelconque A'B', la drooniérenoe circonscrile an iriai^ OA'B' est tangente à une drcooférenoe fixe C, inscriteà Tanfl^ xOy 164

XCVm. Deox polygones qnekonqoes» de 3» oôlésy aoat quand leurs côtés ont les mêmes milieux 164

1LCDL Soit A'B'C U droite de SImson, rebtire i un point M et à un trbngle ABC 1« Les distances de M, aux points A, B, C, A', r, C, satisfont aux leb-

reblions:

AM.Alfs=BM.Blf = CH.Clf;

2* Si MP est b plus courte distance du point à b droite :

"*^™ *~AII ^ BM ■" CM

c. Soit une transTersale XY, déterminant, dans deux oerdes 0, 0', des

cordes AB, A'B', égales eotre elles. Si M est le point de coocours des tangentes en A, B' :

l» Les oerde s 0, 0' sont vas, de H, sous des angles égaux ;

2* Le lien de ce point est une circonférence 166

CI. Sur le diamètre AB d*an demi-cercle, ou construit un rectangle dont la hauteur AC égale le côté du carré inscrit Si Ton joint les sommets C, D à un point quelconque M, de la demi-circonférence, par les droites CM, DM, coupant en E, F le diamètre, on a

"ÎS'-I-'BE*=ÂB*. 167

eu. Dans tout triangle :

1* Les milieux des côtés, les pieds des hauteurs, les milieux des segments compris entre les sommets et le point de rencontre des liauteurs, sont neuf points situés sur une même circonférence û, ;

^ Le centre de û est le milieu de la droite qui joint le point de rencontre des hauteurs au centre du cercle circonscrit ;

3» Le rayon de Q est la moitié du rayon du cercle circonscrit 170

cm. Si deux circonférences mobiles G, C touchent deux circonférences fixes 0, 0', aux points A, B, A', B' : 1* les cordes AA', BB', des cercles mobiles, se coupent en un point fixe P ; 2o le lieu du point de rencontre 0 des cordes AB, A'B', appartenant aux cercles fixes, est Taxe radical de ces cercles. 1 72

CIV. Soit A A' une tangente commune à deux cercles 0, 0', et soit C lue circonférence tangente à ces cercles : 1* les cordes de contact AB, A'B' se coupent en un point R de la circonférence G'; 2* le point R appartient à Taxe radical des cercles 0, 0' ; 3' le rayon RG' est perpendiculaire à la tangente AA' 173

CV. Soient : 0, 0' deux circonférences données; AA', DD', deux de leurs tangentes communes ooiguguées; G', une circonférence tangente à 0, (/; R, R', les points oii cette ligne coupe Taxe radical de 0, 0' : la tangente DD' est Taxe radical commun de la <:irconférence G' et de chacune des circonférences orthogonales à 0, 0', décrites du point R ou du point R' conune centre 174

CVI. Dans tout triangle, la circonférence des neuf points est tangente au cercle inscrit et aux cercles ex-inscrits 176

CYII. Soit D le point où le côté BG du triangle ABC touche la circonférence inscrite I; soit E le point oti ce même côté touche la circonférence ex-Inscrite a, opposée au sommet A. Si, sur DE comme diamètre, on décrit une circonférene qui coupe en F, G la tangente commune conjuguée de AB, ces points F, G appartiennent à la circonférence des neuf points .... 177

CYIU. Dans tout triangle, la circonférence des neuf points touche les douze cercles inscrits ou ex-Inscrits aux trois triangles déterminés par deux des sommets et par le point de concours des hauteurs. 178

4M TABLE DES MATARES.

en. SîdaBcer«laO,lsoBltels,qm'nitriaagleABCp«iweéliei aa prôner et ctraMMcril an feoood, I» dreooféreBees tÊagfaieg an cAlâ da îmaffe k't^C, qm a poor sosiaelsia poialiok ABCuwebe b cireoB-

lyfOBllaogealesàiio cetdefxe 179

ex. Si deux eerclesO,Iiootldftyqa*ni triangle ABC puiaaeétrei aa premier elcirconserli an second, b dreonférenee cîroonscnleaa triangle A^wrc^tonoé par les tangentes en A, B^C, an eerde O, est tangente à u

CXL Le cercle circonscrit à nn triangle ABC loadie les aeixe cercles InscriU on ex-inscrits anx qnatre triangles ayant poor sonnets les centres des cercles tangenU aux c(yiés de ABC ISO

CXH. Dans toot Iriangle ABC, bctroonCérenceû des neof points toocke: 1* les seize ctfrdes inscrits on ex-inscrits aax quatre triangles ajant pour sonnets les centres des cercles tangents aox côtés dn triai^sle dont les sonnets, sont les milieux des segments conpris entre les soounets A, B , C et le point de concoors des hauteurs; 9> trois autres groupes de seiie cercles ISI

CXm. Soient deux triangles semblables et semblablement placés. Si nn triangle est inscrit au premier et circonscrit au second, Paire de ce troisiéne trbngle est moyenne |m>portionnelle entre les aires des deux premiers. . . 182

I. Par nn point donné, mener une droite qui passe au point de concours de deux droites que Ton ne peut prolonger 182

U. Partager un quadribtère, dans un rapport donné, par une droite parallèle li une direction donnée 183

m. Inscrire un carré à un triangle donné 185

IV. A un quadrilatère donné, droonserire nn quadrilatère sembbbleà im autre quadrilatère donné 185

V. Inscrire, à un rectangle donné, un rectangle semblable à un autre rectangle donné 186

TL Par un point, situé sur la bissectrice d'un angle droit, mener une transversale telle, que le segment de cette droite, compris entre les c6tés de Sangle, ait une longueur donnée 188

Tn. Par un point, situé sur la bissectrice d*un angle droit A, mener une transversale UN telle, que le triangle MAN soit équivalent à un carré donné . 190

Tni. Par tin point, situé dans un angle droit A, mener unetransvarsaleMN

TABLE DES MATIÈRES. 48t

telle, que le triangle M AN soit équivalent à un carré m' 190

IX. Par un point, situé dans le plan d'un angle quelconque A, mener une transversale MN telle, que le triangle M AN soit équivalent à un carré donné . iOl

X. Par un point, situé dans le plan d'un angle, mener une transversale telle, que le rectangle des segments, déterminés par cette droite sur les côtés deTangle, soit équivalente nu carré donné 191

XI. Par un point, situé dans le plan d'un angle, mener une transversale telle, que le rectangle des segments de cette droite, interceptés entre le point donné et les côtés de Tangle, soit équivalent à un carré donné 199

XII. Inscrire, à un angle donné, une droite de longueur donnée, de manière que le rectangle résultant soit équivalente un carré donné 192

XIII Inscrire, entre les côtés d'un angle donné, un triangle semblable à un triangle donné et ayant un sommet donné 194

XIV. A un triangle ABC, Inscrire un triangle semblable e un triangle donné et qui ait l'un de ses sommets situé en D, sur le côté AB 195

Xy. Construire un triangle, connaissant les trois hauteurs 195

XTI. Construire un triangle, connaissant deux hauteurs et le rayon du cercle inscrit 196

XVII. Construire un triangle, connaissant la hauteur a' abaissée sur le côté inconnu a, le rayon r du côté inscrit, et le rayon a du cercle ex-inscrit, tangent au côté a 197

XVIII. Construire un triangle, connaissant la hauteur a' abaissée sur le côté inconnu a, et les rayons /3, y des cercles ex-inscrits, tangents aux côtés 6, c 197

XIX. Construire un triangle, connaissant les rayons des trois cercles ex-inscrits 198

XX. Construire un triangle, connaissant le rayon r du cercle inscrit, et

les rayons de deux des trois cercles ex-inscrits 199

XXI. Décrire une circonférence qui passe par deux points donnés et qui touche une droite donnée • 199

XXII. Décrire une circonféreoce qui passe par deux points donnés et

qui louche une circonférence donnée 199

XXIII. Décrire une circonférence qui passe par un point donné et qui touche deux droites données 200

XXIV. Décrire une circonférence qui passe par un point donné et qui touche deux circonférences données 901

XXV. Décrire uoe cirooDféreoce qui passe par an poini dooné el qui touche one droite doDoée et ane ciroonférence donnée fui

XXYI. Décrire une circooféreoce qui touche deux droites données et une circonférence donnée âM

XX\II. Décrire i*ne circonférence tangente à une droite donnée el à deux circonférences données 205

XXVIII. Décrire une circonférence tangente à trois circonférences données 206

XXIX. Décrire une circonférence passant par deux points donnés el interceptant, sur un cercle donné, une corde ayant une longueur donnée. . S09

XXX. Décrire une circonférence qui passe par deux points donnés et qui coupe, suivant un diamètre, une circonférence donnée 309

XXXI. Par un point extérieur à un cercle, mener une droite qui soit partagée, en moyenne et extrême raison, par la circonférence âiO

XXXII. Inscrire, à une circonférence donnée, un triangle isoscèle, connaissant la summe de la base et de la hauteur âlâ

XXXIII. A un cercle donné, inscrire un trapèze ayant une hauteur donnée et équivalent à un carré donné 215

XXXIV. Trouver, sur une droite donnée, un point tel, que la somme de

ses distances k deux points donnés, soit égale ^ une longueur donnée ... 214

XXXV. Trouver sur une droite donnée, un point tel, que la différence de

ses distances à deux points donnés, soit égale à une longueur donnée . . . 213

XXXVI. Par Textrémité d*un diamètre perpendiculaire à une corde, mener une droite dont la partie comprise entre la corde et la circonférence,

ait une longueur donnée 216

XXX y II. Par un point, extérieur à un cercle, mener une sécante telle, que la somme des carrés des segments de cette droite soit équivalente à im carré donné 317

XXX VI II. Par Tun des points d'intersection A de deux circonférences données, mener one double-corde BAC telle, que le rectangle fait sur le segment AB et une droite donnée m, augmenté du rectangle feit sur le segment

AC et une droite donnée n, soit équivalent à un carré donné 919

XXXIX. Inscrire, à un cercle donné, un triangle dont les côtés soient parallèles à trois droites données 3â0

XL. Inscrire, à un-cercle donné, un triangle dont deux côtés soient parallèles à deux droites données et dont le troisième côté passe par un point donné. 230

XLI. Inscrire, k, un cercle donné,. un triangle dont deux côtés passent

par deux poiols donnés et dont ]e iroîsième côté soit psirallèle à une droite donnée. 2il

XLl J. Inscrire, à un cercle donné, un polygone dont les côtés passent par trois points donnés 222

XLIII. Inscrire, à un cercle donné, un triangle dont un côté passe par un point donné et dont les autres côtés soient parallèles k des droites données ^22

XLIV. Inscrire, à un cercle donné, un poljrgone dont les côtés passent par des points donnés 2?3

XLV. Circonscrire, à un cercle donné, un triangle dont les sommets soient situés sur trois droites données 224

XL VI. Construire un cercle tel, que les angles circonscrits, dont les sommets seraient trois points données, soient respectivement égaux à des angles donnés 225

XLVII. Construire un cercle tel, que les tangentes menées à ce cercle, par trois points donnés, aient des longueurs -données 320

XL'VIII. Quelle est la route que doit suivre une bille, sur un billard circulaire, pour revenir au point de départ, après deux réflexions successives sur la bande ? 226

XLIX. Trouver un point tel, que la somme de ses distances à trois points donnés, soit un minimum 228

L. M étant le point dont la somme des distances aux sommets d'un triangle donné est un minimum, on demande d^exprimer cette somme en fonction des côtés 230

U. Trouver un point tel, ({ue la somme des carrés de ses distances, aux lroiscôtésd*un triangle, soit un minimum 230

LU. Exprimer, en fonction des côtés d*un triangle ABC, le périmètre du triangle A'B'C ayant pour sommets les pieds des hauteurs de ABC 233

LUI. Etant donnés un cercle 0 et une droite AB; trouver, sur le diamètre OE perpendiculaire à cette droite, an point tel, que, menant par ce point une corde quelconque CC, et abaissant, des extrémités de cette corde, les perpendiculaires CD, Clï sur la droite donnée, on ait

CD"*"cîr = ^^°*'*°** 234

U V. Étant données deux circonférences 0, 0', on prend an point A sur la première et un point B sur la seconde; et Ton propose de trouver, sur Taxe radical de ces lignes, un point C tel, que si Ton mène les sécantes CAD, CBE, la droite DE, qui joint les seconds points d'inlersectioo de ces sécantes et des ciroonférences données, soit perpeodicalaire k Taxe radical 336

LY. Décomposer un carré en trois carrés égfoa 3S7

LYI. Ouel est le lien des points de contact muliiels de deux circonférences variables, tan^nles à deox circonférences fixes? 339

LTII. Étant donnés deox points A, B, trouver le lieu des points G satisfaisant k la relation

mAfc' -I- nBC'« l«,

dans laquelle m, n, l sont des nombres donnés et une longueur donnée. . . 340

LYIII. Étant donnés deux points A, B, trouver le lieu des points G satisfaisant à la relation

mïC*— nBC =*•,

dans laquelle m, n, / sont des nombres donnés et une longueur donnée. . . 241

LIX. Étant donnés deux groupes de points, trouver le lieu des points tels, que la somme des carrés des distances de chacun, au point du premier groupe, diminuée de la somme des carrés de ses distances aux points du second groupe, soit égale à un carré donné S4I

LX. Quel est le lien des points tels, que les tangentes, menées de chacun à deux cercles donnés, soient entre elles conune deux longueurs données? . 24S

LXI. Quel est le lieu géométrique d*uu point tel, que sa distance à la base d'un triangle isoscèle donné, soit moyenne proportionnelleentre ses distances aux deux autres côtés? 345

LXII. Étant données une droite fixe AB et deux perpendiculaires AG, BD, on coupe ces deux-ci par une transversale quelconque EF; on prend sur AB un point P tel, que le rectangle des segments de AB soit équivalent au rectangle des segments déterminés sur les perpendiculaires; puis, du point P, on abaisse PM perpendiculaire à EF. Quel est le lieu du point M ? ... . 944

LXIfl. Par l'un des points d'intersection de deux circonférences 0,0', on mène deux droites rectangulaires Pa, Pa', qui rencontrent la ligne des centres en a^a\ et les circonférences en 6,c, et 6',c'. Démontrer que l'on a toujours

iî^^-l' M5

ae a'cr

LXIV. Par un point 0, pris sur le prolongement d'un diamètre BA du cercle C, on mène une sécante quelconque OMM' ; on prend les milieux N, N' des arcs Alf, AM'; on joint le centre C, aux points N, N', par les droites GN, CN', lesquelles rencontrent en D, D' la perpendiculaire menée, au diamètre AB, par le point 0. Prouver que le rectangle de OD par OD' est constant, quelle que soit la direction de la sécante 345

LX V. Prouver qu'il existe, sur la ligne CC des centres de deux cercles qui ne se coupent pas, deux points 0, 0' satisfaisant aux relations