CO.CO'==R*, C'O.C'0' = R

dans lesquelles R, R' désignent les rayons 246

LXYI. Prouver qu^il existe, sur la ligne des ceptres de deux cercles intérieurs Tun à I*autre, deux points tels, que les distances de chacun, aux extrémités d^une corde commune, perpendiculaire à ta ligne des centres, sont dans un rapport constint 247

LXVII. Étant donnés un cercle 0 et une droite AB qui ne se rencontrent pas, on prend, sur la droite, un point quelconque M, d*où Ton mène deux tangentes au cercle; on prolonge la corde de contact CD jusqu'à sa rencontre, en M', avec la droite donnée. Existe-t-il un point P d*où le segment MM' soit vu sous un angle droit, quelle que soit la position du point M? . . . . 248

LXTIII. Un triangle PQR étant circonscrit à un cercle 0, on forme un second triangle ABC dont les sommets sont situés sur les côtés du premier, et tel, en outre, que les droites AP, BQ, CR se coupent en un même point D. Des sommets A, B, C, on mène les tangentes ka, B6, Ce : elles coupent en a. 6, c les côtés BC, Ca, AB respectivement opposés à ces sommets. On propose de démontrer que les trois points a, b,c sont en ligne droite â^

LXIX. Étant donnés deux points flxes A, B et deux longueurs >, /u, on prend, sur la direction de AB, un point quelconque M, qu'on regarde comme le centre d'un cercle décrit d*un rayon R déterminé par la relation

R.AB=>.AM + M.BM.

Prouver que les différents cercles, ainsi décrits pour les différents points M

de la droite AB, sont tous tangents à deux mêmes droites fixes 352

LXX. Étant donnés deux axes fixes 0^, Oy ; autour d'un |)oint fixe P on fait tourner un angle d?b de grandeur donnée a. On demande de prouver quMl existe sur Taxe Qx un point fixe A, et sur Taxe Oy un point fixe B, tels que le rectangle des segments Aa, B& reste constant pour toutes les positions de l'angle 252

LXXI. Étant donnés deux cercles 0, 0' qui ne se touchent pas; de chaque point M de Tun, 0, on mène deux droites aux centres de similitudes S, S' des deux cercles ; ces droites rencontrent l'autre cercle O' en quatre points a, a\ 6, y. Prouver que deux de ces points sont sur un diamètre du cercle 0', et que la droite qui joint les deux autres passe par un point fixe, quel que soit le point M pris sur le cercle 0 253

LXXII. Par un point A, situé sur la bissectrice d'un angle aK)^, on mène une transversale BAC, qui rencontre en B, C les côtés de Tangle. On abaisse BD, CE perpendiculaires à la bissectrice; puis, ayant pris le milieu G de OA, on décrit une circonférence sur GE comme diamètre. Quel est le lieu des intersectiohs de cette ligne avec la perpendiculaire BD? 255

LXXIII. Par le point de conUct A de deux circonférences 0, 0',on mène deux cordes AG, aC, dont le rapport m est donné. Des centres 0, 0\ ou

abaisse des perpendiculaires OP, O'P sur ces cordes. Quel est le lieu du point P? . 256

LXXTY. On donne une circonférence, une droite LL', et deux points A, A' sur la circonférence. On joint un point quelconque M, de la courbe, aux points A, A'; les droites MA, MA' rencontrent LL' en P, P'. Démontrer qu'il existe, sur LL', deux points lixes 1, 1', tels, que le rectangle de IP parl'P* devienne constant, lorsque le point M se meut sur la circonférence. Déler^ miner les positions de ces points îùI

LXXV. A un triangle donné, inscrire le système de trois cercles tels, que chacun d'eux soil langent aux deux autres et à deux côtés du triangle ... 258