LIVRE IV

I. Dans tout pentagone régulier, convexe, les diagonales se coupent mutuellement, en moyenne et extrême raison â6l

II. Le côté du décagone régulier étoile inscrit est égal au côté du décagone régulier inscrit, convexe, augmenté du rayon S6t

III. Si, sur les segments AC, BG du diamètre AB d'un cercle 0, on décrit, de part et d'autre de c^lle droite, deux demi-circonférences ADC, GEB; la ligne ADGEB, formée par l'ensemble de ces demi-circonférences, partage le cercle en deux segments proportionnels aux segments du diamètre .... 2Cô

IV. Si deux arcs ont une somme moindre que la demi-circonférence, le rectangle de leurs cordes est équivalent à celui qui aurait pour dimensions le rayon et l'excès de la corde du supplément de la différence des arcs sur la corde du supplément de leur somme %4

V. Si deux arcs ont une somme plus grande que la demi-circonférence, le rectangle de leurs cordes est équivalent à celui qui aurait pour dimensions le rayon et la somme des cordes du supplément de la différence et du supplément de la somme de ces arcs • • . 265

TI. Une circonférence étant partagée en un nombre impair de parties égales; si Ton joint le point diamétralement op|K)séà l'un des points de division, avec tons ceux qui sont situés sur la même demi-circonférence, le pro-

doit des cordes ainsi menées est égal à une puissance du rayon marquée par

le nombre des cordes 365

TH. Une circonrérence étant partagée en' un nombre impair de parties ^les; si Ton joint le point diamétralement opposé à celui dontUndice est zéro, avec les points dont les indices sont les termes de la progression 1, 3, 4, 8.. , le produit des cordes ainsi menées est égal à une puissance du rayon marquée par le nombre des cordes 266

YIII. On peut, au moyen de la règle et du compas, diviser la circonférence en dix-sept parties égales 367

IX. 11 existe toujours une circonrérence à laquelle est inscriptfble un polygone convexe dont les côtés sont respectivement égaux à des droites données 269

X. Entre tous les polygones formés avec des côtés donnés, le maximum

est le polygone convexe tnscriptible 370

XI. Entre tous les triangles isopérimètres, de même base, le maximum

est le triangle isoscèle 271

XII. Entre tous les polygones isopérimètres, d*un même nombre de côtés,

le polygone maximum est équilaléral 271

XIU. Entre tous les polygones isopérimètres, d*un même nombre de côtés, le maximum est le polygone régulier 373

Xiy. Entre tous les polygones équivalents, d'un même nombre de côtés, le polygone régulier a le périmètre minimum 273

XY. De deux polygones réguliers îsopérimètres, le maximum est celui qui a le plus grand nombre de côtés 373

XYI. De tous les triangles inscrits à un niéme segment, le maximum, en surface et en périmètre, est le triangle isoscèle 273

XYII. Entre tous les polygones d'an même nombre de côtés, inscrits à en même cercle, le maximum, en surface et en périmètre, est le polygone régulier 273

XVIII. De deux polygones réguliers, inscrits à un même cercle, celui qui

a le plus grand nombre de côtés est le plus grand en surface 273

XIX. De deux polygones réguliers, inscrits à un même cercle, celui qui a

le plus grand nombre de côtés a le plus grand périmètre 275

XX. De tous les triangles qui ont même hauteur et même angle opposé à

la base, le plus petit est le triangle isoscèle. 275

[. De tous les polygones d*un même nombre de côtés, circonscrits à un même cercle, le plus petit, en surface et en périmètre, est le polygone régulier 276

XXII. De deux polygones régalien, circonscrits à ao même cercle, celui qui a le pins grand nombre de cfttés est le plus petit, en sur£ice et en périmètre 277

Problème*.

I. On construit, sur le diamètre AB d*une circonférence G, un triangle équilatéral ABD; on divise AB en n parties égales; on Joint Textrémité E, de la deuxième division, au point D, par la sécante DEF. Quelle est l'expression

de la corde AF? 2t7

II. On construir, sur le diamètre AB d'une circonférence C, un triangle équilatéral ADB; on divise^ le rayon GAenn parties égales; on joint Textrémité E, de la quatrième division, au point D, par la sécante DEF. Quelle est Texpression de la corde FG, G étant Textrémité du diamètre DGG? 980

m. Sur les prolongements de deux rayons OA, OB, perpendiculaires

entre eux, on prend AC =: BD = - OA. On mène GD, qui coupe en F, G la

circonférence. On joint le point G au point E déterminé en prenant, sur AO, AE = 3AG.

Évaluer la longueur de EG 281

IV. A rextrémité du rayon GB d^un cercle donné, on élève une tangente BD égale au diamètre; on prolonge cette tangente d'une longueur Da égale au cinquième du rayon, et d'une longueur D6 égale au trois cinquièmes du rayon; on prend BA égale à Ca; enfin, par le point A, on mène AB parallèle i Cb. Quelle est Texpression de BE? 283

T. Gonnaissant les périmètres de deux polygones réguliers semblables, Tun inscrit, l'autre circonscrit, déterminer les périmètres des polygones réguliers, Tun inscrit, Tautre circonscrit, d'un nombre double de côtés. . . 284

VI. Gonnaissant les aires de deux polygones réguliers semblables, l'un inscrit, l'autre circonscrit, trouver les aires des polygones réguliers, l'un inscrit, l'autre circonscrit, d'un nombre double de côtés 387

TII. Gonnaissant le rayon et l'apothème d'un polygone régulier, trouver le rayon et l'apolbème d'un polygone régulier isopérimètre, d'un nombre double de côtés 389

VIII. Connaissant les périmètres de deux polygones réguliers inscrits, l'un de n côtés, l'autre de 2n côtés; trouver le périmètre du polygone régulier inscrit, de An côtés. ^1

DL Gonnaissant les aires de deux polygones réguliers inscrits, fun de n côtés, Tautre de 2n côtés ; trouver l'aire du polygone régulier inscrit, de An côtés »i

X Connaissaiit les rayons de deux polygones réguliers isopériniètres, Ton de n côtés, Tsutre de 2n côtés; trouver le rayon du polygone régulier isopérimètre, de 4n côtés. ^ • 993

XI. Calculer les aires et les périmètres des polygones réguliers de 4, 8, 16,... côtés, inscrits k un cercle donné 294

XII. Les côtés d'un décagone régulier étoile, inscrit à un cercle, forment, par leurs intersections successives, un polygone régulier, ayant vingt côtés. Quels sont, en fonction du rayon du cercle, l'aire et le périmètre

de ce polygone ? 297

XIII. inscrire, âi une circonférence donnée, un polygone régulier de trente-quatre côtés 398

XIV. Calculer, à moins de 0^001, le rapport entre le côté du polygone régulier de trente-quatre côtés et le rayon du cercle circonscrit 302

XV. Calculer, à moins de 0^0001, le rapport entre le côté du polygone régulier de dix-sept côtés et le rayon du cercle circonscrit 304

XVI. A un cercle donné, inscrire cinq carrés égaux, de manière que Tun d*eux soit concentrique au cercle, et que chacun des quatre autres ait deux sommets sur la circonférence 305

XVII. A un cercle donné, inscrire six pentagones réguliers égaux, de manière queTund^eux soit concentrique au cercle, et que chacun des cinq autres ait un sommet sur la circonférence 306

XVIII. A un cercle donné, inscrire sept hexagones régullera égaux, de manière que Tnn d'eux soit concentrique au cercle, et que chacun des six autres ait deux sommets sur la circonférence 307

XIX Décomposer un hexagone régulier, en hexagones réguliers et en triangles équilatéraux 308