LIVRE V

Tlié«rèmefl.

I. Dans tout angle trièdre, les plans bissecteura des angles dièdres se coupent suivant une même droite 309

II. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes et par les bis-

sectrices des faces opposées, se coupent suivant une même droite . . . 310

III. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les bissectrices des faces, perpendiculairement à ces faces, se coupent suivant une même droite. 31 f

IT. Les plans menés par les arêtes d'un angle trièdre, perpendiculairement aux faces opposées, se coupent suivant une même droite 311

V. Dans tout trièdre, la somme des auj^Ies formés par les arêtes, avec les bissectrices des faces opposées, est moindre que la somme des faces. ... 313

VI. La somme des dièdres d*un angle polyèdre convexe, de n faces, est comprise entre 3n et 3(n — 2) dièdres droits • • • '*^

TH. Tout plan, parallèle à deux côtés opposés d'un quadrilatère gauche, partage proportionnellement les deux autres côtés . . . 313

YIII. Si une première droite partage proportionnellement deux côtés opposés d*un quadrilatère gauche, et qu'une seconde droite partage proportionnellement les deux autres côtés du quadrilatère: 1<^ ces deux droites sont dans un même plan; 2o chacune d'elles est partagée, par Pautre, en deux segments proportionnels aux segments des côtés qu'elle ne rencontre pas 314

IX. Tout plan transversal détermine, sur les quatre côtés d'un quadrilatère gauche, huit segments tels, que le produit de quatre segments non consécutifs est égal au produit des quatre autres 315

X. Dans tout quadrilatère gauche, les milieux des côtés sont les sommets d*un parallélogramme 316

XI. Dans tout quadrilatère gauche, le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposés est situé au milieu de la droite qui joint les milieux des diagonales 310

XII. Tout plan transversal détermine, sur les côtés d'un triangle, six segments tels, que le produit de trois segments non consécutifs est égal au produit des trois autres 317

XIII. Si les côtés d'un polygone gauche sont coupés par un plan transversal, le produit des segments non consécutifs est égal au produit des autres segments 317

XIV. Si, par une droite quelconque, et parles différents sommets d*un polygone gauche, ayant un nombre impair de côtés, on fait passer des plans qui partagent les côtés respectivement opposés à ces sommets, chacun en deux segments; le produit des segments non consécutifs est égal au produit

des autres segments 317

XV. Loi*sqa'une droite est partagée en deux segments proportionnels

snx nombres b,a; si, des points A, B, G on abaisse, sur un plan quelconque, des perpendiculaires AA', BB', CC, on a

(a-4-6)CC's=o.AA'-t-6.BB' 518

XVI. Etant donné un système de points, on peut toujours déterminer un point tel, que sa distance à un plan quelconque soit égale à la moyenne arithmétique entre les distances, au même plan, de ces points 319

XVII. La somme des carrés des distances de n points, à un point quelconque S, est égaie à la somme des carrés des dislances des mêmes points •

à leur centre, augmentée de n fois le carré de 80 319

XVIII. Le lien géométrique des points tels que la somme des carrés des distances de chacun d'eux, à des points donnés A, B, G..., soit constante, est une sphère qui a pour centre le centre des moyennes distances des points

XIX. Si, dans un angle polyèdre convexe, dont toutes les faces, excepté une, sont constantes, on fait varier un seul des angles dièdres opposés à celle face, de manière que Tangle polyèdre reste convexe; la face variable augmentera si Tangle dièdre augmente, et elle diminuera s'il diminue. . . 519

XX. Si Ton fait varier, d'une manière quelconque, les angles dièdres d'un polyèdre convexe dont les faces sont constantes; que Ton mette le signe + sur Tarête de chaque dièdre qui augmente, le signe — sur l'arête de chaque dièdre qui diminue, puis que Ton fasse le tour entier de l'angle polyèdre; on trouvera au moins quatre variations de signes 520

Problèmes.

I. Étant donnés un plan XY et deux points A, B, situés d'un même côté de ce plan; trouver, sur XY, un point M tel, que la somme des distances AM,

BM soii un minimam 5â1

II. Étant donnes un plan XY et deux points A, B, situés de côté et d'autre de ce plan; trouver, sur XY, un point M tel, que la différence des distances AM, BM soit un maximum 522

UL Trouver, sur une droite donnée, un point tel, que la somme de ses distances aux faces d'un angle dièdre donné, soit un minimum 522

IV. Gouper,par un plan, un angle tétraèdre, de manière que la section

soit un parallélogramme 523

V. Couper, par un plan, un angle trièdre trirectangle, de manière que la section soit égale à un triangle donné 525

VI. ÉUnI donnés deux droites fixes et un angle dièdre, que Ton fait loarner autour de Paréte, supposée fixe, prouver qu*il existe sur la première droite un poiot fixe A, et sur la seconde droite un point fixe B, tels que a, b étant les points où ces deux droites percent les faces de Tangle dièdre, dans

une position quelconque, le rectangle des segments Aa, Bfr soit constant . . 3i4

VII. Quel est le lieu des points également distants de deux droites qui se coupent? 323

VIII. Quel est le lieu des points tels, que la différence descarrésdes distances de chacun, h deux points donnés, soit égale à un carré donné ? . . . 325

IX. On donne n droites OA, OA'... passant par un point 0; et Ton demande sur quelle surface sont situés les points tels, que si Ton abaisse, de chacun, les perpendiculaires MP, MP\ MP''..., sur ces droites, la somme des rectangles construits sur les distances OP, OP', OP"..., et sur des longueurs données 6, 6% 6"..., soit équivalente & un carré donné /< 3S6

X. On donne deux plans P, Q et un point A. Par ce point, on fait passer une droite arbitraire, qui coupe les plans donnés en des points C, D; après quoi Ton construit le point B, conjugué harmonique du point A, relativement

aux deux autres points. Quel est le lieu du point B? 327

XI Étant donnés un quadrilatère gauche et une droite qui partage proportionnel lemenl les deux côtés opposés de cette figure; trouver une droite qui partage proportionnellement les deux autres côtés, et qui soit perpendiculaire à la première droite 327

XII. Une droite s^appuie sur deux côtés opposes d'un quadrilatère gauche, en restant parallèle à Tun des deux plans directeurs. Une seconde droite s'appuie sur les deux autres côtés opposés, en restant parallèle au second plan directeur. De plus* ces droites sont constamment perpendiculaires entre elles. De quelle nature est la ligne décrite par leur point d^intersection? 329

XIII. Étant donnés deux points fixes A, B, et deux plans fixes VY, XZ; on prend, dans Tespace, un point (|ueIconque M ; on mène la droite AM ; on joint le point P, oii elle perce le plan VY, avec le point B, par la droite PpB, laquelle perce le plan XZ au point p; enfin, on tire les droites BM, Ap ] et Ton obtient ainsi un quadrilatère plan MPpm. Si le sommet M de ce quadrilatère décrit une droite CD, quel est le lieu décrit par le sommet m?. ... 33!

TABLE DES MATIÈUES. 49S