LIVRE VI
I. Tout plao, mené par les inilieax de deux arêtes opposées d'un tétraèdre, partage ce corps en deux parties équivalentes . 335
II. Dans tout parallélipipède, le produit de Taire d*une face par la hauteur correspondante est constant 334
m. Si une surface polyédrale convexe est terminée par une ligne brisée, dont les côtés soient ou ne soient pas dans un même plan, le nombre des faces, plus le nombre des sommets, égale le nombre des arêtes plus 1 . . . 335
IV. Dans tout polyèdre convexe, le nombre F des faces, plus le nombre S des sommets, égale le nombre A des arêtes plus 3 ; c'est-à-dire que
y. Dans tout polyèdre convexe : !<> les faces ayant un nombre impair de côtés sont toujours en nombre pair ; 2*> les sommets auxquels aboutissent un nombre impair d*arétes sont toi^ours en nombre pair 336
VI. Dans tout polyèdre convexe ayant F faces, le nombre S des sommets et le nombre A des arêtes satisfont aux conditions :
S^^ F + 2, A^jF 337
VII. Dans tout polyèdre convexe, le nombre des faces triangulaires, augmenlé du nombre des angles trièdres, donne une somme qui ne peut être inférieure à8 339
VIII. U Tout polyèdre convexe a des faces triangulaires, ou quadrangulaireSt ou pcntagonales ; 2° tout polyèdre convexe a des angles trièdres^
ou tétraèdres, ou peniaèdres 339
IX. La somme des angles plans d'un polyèdre convexe est égale à autant
de fois quatre droits que le polyèdre a de sommets moins deux 341
X. Dans tout polyèdre convexe, la somme des angles polyèdres est équi-
valeote à Vticès de la somme des angles dièdres sur autaot de fois deux dièdres droits que le polyèdre a de faces moins deux 34i
XI. Si une surface polyédrale convexe présente une seule onverUire, ayant m côlés non situés dans un même plan, ou peut toujours fermer cette ouverture au moyen d*une surface polyédrale ayant au plus m — 2 faces, de manière à obtenir un polyèdre convexe, fermé de toutes parts 343
Xn. Si la surface d*nn polyèdre convexe est partagée en P parties, séparées les unes des autres par A arêtes formant R réseaux isolés, et que S soit le nombre des sommets situés sur ces arêtes, on aura
Ph-S==Ah-R-h1 343
XIII. Deux polyèdres convexes sont égaux lorsqu'ils ont toutes leurs faces égales chacune ii chacune, et semblablement disposées 344
XIV. 1* Dans tout tétraèdre, les droites menées des sommets, aux centres des moyennes distances des faces opposées, se coupent toutes les quatre
en un même point, centre des moyennes distances des sommets du tétraèdre. Ce point est situé aux trois quarts de chaque droite, à partir du sommet d*oii elle est menée ;
2« Dans tout tétraèdre, les droites qui joignent les milieux des arêtes o|»- |)Osées se coupent mutuellement en deux parties égales, au centre des moyennes distances des sommets du tétraèdre 346
XV. Dans tout tétraèdre tronqué, à bases parallèles, les droites menées des sommets d*une des bases, aux milieux des côtés de l'autre l)ase, opposés
à ces sommets, se coupent en un même point 347
XVI. Dans tout tétraèdre, le pian bissecleur de chaque angle dièdre par^ tage Taréie opposée en deux segments pi'0|)oriionnels aux aires des faces adjacentes 348
Problèmes.
I. Déterminer la hauteur d*un tétraèdre dont les arêtes sont données . . 349
II. Calculer, en fonction des arêtes, le volume d*un tétraèdre 350
III. Couper un tétraèdre ABC par un plan P, parallèle aux arêtes opposées AC, BD, de manière que la section EFGH soit maximum 355
IV. Par les milieux de deux arêtes opposées d'im tétraèdre, on fait passer une infinité de plans. Quel est celui qui détermine la section la plus petite
en surface? 355
V. Ëiant donnée une pyramide, dont la base est un parallélogramme, on propose de la partager en deux parties équivalentes, au moyen d*un plan passant par un des côlés de la base 356
VI. ÉUdI donné un parallélipipède dont toutes les faces sont des losanges, égaox; on demande le volume de ce polyèdre, en fonction des diagonales des laces 357
VII. Étant donné un dodécaèdre doot toutes les faces sont des losanges égaux; exprimer, en fonction de Tarête, le volume de ce polyèdre 359
Tm. On prend, sur les arêtes d'un cube; à partir des sommets, les distances El, EK, EL, AM,..., égales entre elles. On mène les plans AIF, HLF, AKH, ..., lesquels déterminent un polyèdre ayant pour faces vingt-quatre quadrilatères égaux. On demande d'évaluer la surface et le volume de ce corps 361
IX. Dans une pyramide quadrangulaire SABCD, qui a pour base un trapèze ABCD, on donne : 1" la face SAB; t.>*'les directions des arêtes parallèles AD, BG; 5* les angles de la face SCD; et Ton propose de construire la pyramide 3d5
X. Couper, par un plan, un prisme triangulaire donné, de manière que la section soit semblable à un triangle donné 366
XI. Couper, par un plan, un tétraèdre régulier, de manière que la section
soit un carré 367
XII. Couper un tube par un plan, de manière que la section soit un hexagone régulier 567
XIII. Partager un tronc de pyramide en parties proportionnelles à des nombres donnés, par des plans pai-allèles aux bases 368
XIV. Étant donné un prisme dont les bases sont des hexagones réguliers ABCDEF, A'B'C'D'E'F', et dont Taxe est 00', on construit les tétraèdres O^ACE, OA'C'E', et l'on demande :
1* Quelle est la forme de la partie commune aux deux tétraèdres;
3" Quel est le rapport entre cette partie commune et le prisme ? . . . . 371
XV. Étant donné un prisme droit, dont les bases sont des hexagones réguliers ABCDEF, A'B'CD'E'F', et dont Taxe est 00', on construit les tétraèdres O'ACE, OB'D'F'; et l'on demande :
i^ Quelle est la forme de la partie commune aux deux tétraèdres;
2* Quel est le rapport entre cette partie commune et le prisme? .... 37â
XVI. Sur les côtés d*un hexagone régulier ABCDEF, on élève six plans, perpendiculaires à celui de cette Ggure. On prend les arêtes non consécutives BB', DD', FF', égales entre elleâ. Enfin, par chacune des droites B'D', D'F', F'B', et par un point S, situé sur Taxe de Tbexagone, on fait passer des pians SB'C'D', SDT'F', SF'A'fi'. Comment doit-on prendre le point S, pour que la somme des faces du polyèdre ainsi formé soit un minimum ? . . 374
XVII. On donne,, dans un tétraèdre, deux couples d'arêtes opposées.
4f6 TABLE BES MATIÈBBS.
qat le lélnè*eailM
HVnT. TrcNiTcr, cTaprès les doméessahules, le iiiIiimi «Kob polyMie ABCDA^rCOK, ajMM pour beet den rectangles AECD, A^rCB, etqntie uapëzes ABA'r, BCB^C, CDCir, DAIKA'.
AB = a=»»,50,
BC=s6=:l-,l
Air :=«'=»-
B'C' = ir= 0-^50,
Aatf<ettr=:A=0",50 378
XIX, BéCernriner le Toliiiiie d'an polyèdre ajuit pour bct& deox poiy- 90fies qaekoDqiies, siCoés dans deux plans parallèles, et une série de triaogles 379
