LIVRE VII

I. Dem poiots, réciproques par rapport i une sphère, partageai lianiioniquemeot le diamèlre qui les ooDlieot 381

II. Les distances d'un point quelconque d*ane sphère, à deox points réciproques, sont dans un rapport constant 381

III. 1* Les tangentes menées k une sphère S, d*un point extérieur A, sont égales entre elles ; 3* le lien de ces tangentes est un o&ne de révolution ; 3* le lieu de leurs points de contact est une circonférence située dans

un plan P, perpendiculaire au diamètre EF passant par A 381

IV. Le sommet d'un cône, circonscrit à une sphère, est le p61e du plan P

de la circonférence de contact 383

y. Le pôle de tout plan passant par un point A, est situé sur le plan polaire de A 382

YI. Le plan polaire de tout point A', pris sur un plan P, passe par le pôle A de P 383

TABLB DES MATIÈRES. 497

Til. Le pôle de toat plan, passaiit par une droite, est sitaé sur la droite réciproque de la première 363

VIII. Le plan polaire de loal point, pris sur une droite IV, passe par la droite D, réciproque de la première 384

IX. Toute corde, menée par un point, est divisée harmoniquement par

ce point et par son plan polaire 384

X. Le lieu des pôles d*une droite D, relativement à tous les cercles situés sur une sphère S et passant par cette droite, est la droite D^, réciproque de D 384

XL Le lieu des polaires d'un point, relativement à tous les cercles situés sur une sphère S et passant par ce point, est le plan polaire de ce même point 385

XII. Le lieu géométrique des points d'égale puissance, par rapport à deux sphères, est un plan, perpendiculaire à la ligue des centres S85

XIH. Les plans radicaux de trois sphères, considérées deux à deux, se coupent suivant une droite, perpendiculaire au plan des trois centres . . . 386

XIT. Les plans radicaux de quatre sphères, considérées trois à trois, #e coupent tous les quatre eu un même point • 386

XV. Le lieu des points d'égale puissance, par rapport à deux cercles situés sur une même sphère, est Tintersection des plans de ces cercles . . . 386

XVI. Deux arcs de grands cercles, passant par un même point, et tangents à un petit cercle, sont égaux entre eux 387

XVII. Le lieu des points d'oh Ton peut mener, à deux cercles situés sur une sphère, des tangentes sphériques égales, est une circonférence de grand cercle, dont le plan passe par Tiotersection des plans des deux cercles 387

XVI II. Si Ton conçoit, sur une sphère, une infinité de circonférences C dont les plans passent par une droite D, et une infinité de circonférences €' dont les plans passent par la droite D', réciproque de D, chacune des premières circonférences coupe orthogonalement chacune des dernières. . . . 388

XIX. Le sommet À d'un angle sphérique CAD, circonscrit à un cercle directeur CDE, a pour cercle conjugué celui qui passe par les points de contact C,D 388

XX Le conjugué A^ de tout grand cercle C passant par un point A, est sur le grand cercle G conjugué de A 390

XXI. Le grand cercle C, conjugué de tout point A' pris sur un grand cercle C, passe par le point A, conjugué de G 391

XXII. Si les arcs de grands cercles, qui joigneni les sommets correspondanls de deux triangles sphériqaes, se conpent en un même pœnt, les points de concours des côlés opposés sont situés sur une même circonférence de grand cercle. Et réciproquement 391

XXIII. Si deux polygones sphériques sont composés d'un même nombre de triangles tels, que les points de concours de deux côtés homologues quelconques, pris dans deux triangles correspondants, soient tous situés sur une même circonférence de grand cercle; les arcs de grands cercles, qui joignent les sommets homologues de ces polygones, se coupent tous en un même point 8^

XXIV. Dans tout quadrilatère sphérique, inscrit à un petit cercle, le point de rencontre des diagonales, et les points de concours des côtés opposés, forment un triangle dans lequel chaque sommet est conjugué au côté opposé 393

XXT. Dans tout quadrilatère sphérique complet, circonscrit à un petit cercle, chacune des diagonales est conjuguée au point dMntersection des deux autres 393

XXTI. Si deux quadrilatères sphériques sont, Tun inscrit et Tautre circonscrit à un même petit cercle, de manière que les sommets du premier soient les points de contact des côtés du second : 1* les points de concours des côtés opposés de ces quadrilatères sont situés sur une même circonférence de grand cercle; â» toutes les diagonales se coupent en un même point, conjugué à cette circonférence; 3o les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit sont situés sur les diagonales du quadrilatère circonscrit 393

XX Vil. Dans tout hexagone sphérique, inscrit à un petit cercle, les points de concours des côtés opposés, pris deux à deux, sont tout trois sur une circonférence de grand cercle 393

XXVIII. Dans tout hexagone sphérique, circonscrit à un petit cercle, les diagonales menées par les sommets opposés, pris deux è deux, se coupent

en un même point 393

XXIX. Dans tout triangle sphérique, inscrit à un petit cercle, les points de concours des côlés avec les tangentes sphériques aux sommets opposés, sont situés sur une même circonférence de grand cercle 394

XXX. Par deux cercles, tracés sur une sphère, ou peut généralement faire passer un cône 394

XXXI. Si un cercle variable est tangent à deux cercles tracés sur une sphère :

1o Les points de contact appartiennent à une génératrice du cône déterminé par les cercles donnés;

â La circonférence de grand cercle passant par ces deux points coupe, sous un même angle, les circonférences données ;

S« Toutes les circonférences de grands cercles, ainsi déterminées, se coupent en deux points fixes ou foyers situés sur le diamètre qui passe par le sommet du c6ne 397

XXXII. Les sommets des c6nes déterminés par trois cercles tracés sur une sphère et considérés deux à deux, sont, trois à trois, sur quatre droites situées dans un même plan 398

XXXIII. Si deux cônes ont un sommet commun, et que leurs bases soient deux circonférences sécantes C , G', tracées sur une sphère , l'angle sous lequel se coupent ces bases est égal à celui sous lequel se coupent les sections antiparallèlcs c, c', situées sur la même sphère 899

XXXIV. Si deux cônes ont pour bases deux circonférences sécantes C, C tracées sur une sphère , et que leur sommet commun S soit un point de cette surface, tout plan, parallèle au plan tangent à la sphère, en ce point S, coupe les cônes suivant deux circonférences c^c', dont l*angleest égal à celui des deux premières 400

XXXV. Si un cône a pour base un petit cercle de la sphère , et pour sommet un point de cette surface , le centre de la section antiparallèle du cône est sur la droite qui joint le sommet au pôle de la base 401

XXXVI. La figure réciproque d'un plan P, relativement à une sphère S, est la sphère S' qui a pour diamètre la distance du centre de S au pôle

de P 402

XXXVII. La figure réciproque d*un cercle, relativement à une sphère,

est un cercle 402

XXXVIII. La figure réciproque d*une sphère, relativement à une sphère, est généralement une sphère ; . 402

XXXIX. Dans deux figures réciproques, les angles correspondants sont égaux 403

XL. Dans tout quadrilatère inscrit, dont les diagonales sont rectangulaires, la somme des carrés des côtés est équivalente à huit fois le carré du rayon de la sphère, moins huit fois le carré de la distance du centre de la sphère au centre du quadrilatère 403

XLI. Dans tout octaèdre inscrit, dont les diagonales se coupent rectangulairement, en un même point M, la somme des carrés des arêtes est équivalente à vingt-quatre fois le carré du rayon de la sphère, moins huit fois le carré de la distance du centre au point M 404

XUIL têmÊÊÊÊeéttemététtn»

wx dli0iMnlM de fci bcci

U.TL A una dodécaèdfe icgidifr m pott

ilCr» OOW K» Wf^Êtmaê CI lefarCltS apfWfllf llfi fi lOT iffi'gl'ffifpf 4tf tf* ftgff

L DHifer, en deos parties égtleSyODjre de eerdedooDé 40t

IL IKTiser, CBdeox parties égales, rangleforné par deux arcs de gnods cercies doooes •.••••...•..• ....•.• 409

in. A ontrbDgfesphériqvedoDiié, drooDScrireiniectrooDféreooe . . . 4f0

IT. A on triangle tpbériqnedoDoéjiiiscrireniiecirooofëreiioe 4t0

▼. Construire nn triangle sphériqne, ooonaissant deux oôlés et Pangle eonpris 410

TL Cofutniire on triangle sphériqne, connaissant deux cAcés et Tangie opposé i Tan d*eitx 410

TIL Coostmire on triangle spbérique, connaissant les irais côtés ... 410

Vm. Construire un triangle sphériqne , connaissant nn côté et les denx angles adjacents 410

IX. Construire nn triangle sphériqne, connaissant denx angles et le o6lé oppoiéi Tnn d'eux 411

X. Conslniire un triangle sphériqueyCODcaistant les trois angles . ... 411

XI. Par un point donné, mener an arc de grand cercle, tangent à un petit cercle donné 411

Xn. D*un point donné, comme p61e, décrire un cercle tangent à un cercle donné 411

Xm. Tracer une circonférence de grand cercle tangente à deux petits cercles donnés 411

XIY . Tracer une circonférence tangente à deux cercles donnés et ayant un rayon sphérique donné 41 1

Xy. Décrire une circonférence qui passe par deux points donnés et qui touche un cercle donné 412

XTI. Décrire une circonférence qui passe par un point donné et qui touche deux arcs de grands cercles donnés 412

XVII. Décrire une circonférence qui passe par un point donné et qui touche deux petits cercles donnés 412

XTin. Décrire une circonférence tangente à trois petits cercles donnés. 415

Quel est le lieu géométrique des sommets des triangles sphériques construits sur une base donnée, et dans lesquels la différence entre la somme des angles à la base et l'angle au sommet est constante? 415

XX. Quel est le lieu géométrique des sommets des triangles sphériques

de même base et de même surface? 416

XXI. Construire on triangle sphérique, connaissant deux sommets, un angle et la surface 417

XXII. Dans un triangle spbériqoe ABC, on mène les arcs de grands cercles AD, BE, GF qui le divisent, chacun, en deux parties équivalentes. Comment se coupent ces trois lignes? 417

XXin. Étant donnée l'arête d'un polyèdre régulier, trouver le rayon de la sphère circonscrite et le rayon de la sphère inscrite 418

XXIT. Connaissant le rayon d'une sphère, trouver Tarête d'un polyèdre régulier inscrit» et le rayon de la sphère inscrite à ce polyèdre 422

XXY. Trouver l'aire et le volume d'un polyèdre régulier, inscrit à une sphère dont le rayon est R 423

Tutr ic» xt

XXTL ''« ion*?» «»-«Mi» « iÊtfTi^^ mm 'iThiiifiii «^ t^Iiei-^ jflr