BAM + B'AM
on trouve
DBM + DB'M = V.
Ainsi, le quadrilatère MBDB' est inscrit à la circonférence BMB'.
4'' Soient HT tangente à 0, MT' tangente à 0' : TMT' est ce qu^on appelle l'angle des deux circonférences.
Cela posé,
TMT' = 2' — OMO' = 2^ — BMB' =» BDB'. C Q. F. D.
Remarques. — L On a vu que les triangles BMB^ OMO' sont equiangles entre eux (*).
IL L*égalité des angles OMO', BMB' entraîne celle des angles BMO, B' MO'. Donc les triangles isoscèlcs BOM , B'OM sont equiangles entre eux.
III. Les triangles BDB', OCO' sont equiangles entre eux (**).
IV. Quand la d(mble<orde tourne autour de A, le centre C, de la circonférence BMB', décrit la circonférence OMO'.
C) Ccst-è-dirc qu'ils sont semblables [G., 209].
(**) Conséqucmment, les quadrilatères MBDB', MOCO' sont semblables [G., 2(U].
THÉOBÈMES ET PKOBLÈHES
Si, d'un point M, pris sur une circonférence, on mène les cordes HP, MQ, MR, retpecticement perpendiculairei aux côtés BC, CA, AB d'un triangk inscrit, \BC, les nouvelle» cordes AP, BQ. CR ton! paratlèles entre elles.
Le poÏDt H éuot extérieur au iriaitgle ABC, les angles PHR , ABC sont égaux, comme ayant les c6tés respectivemmt perpendiculaires; donc oFc PR = arc AC. A cause de la siiuaûon des arcs (*), el par la réciproque d'un ihéoréme connu [G., 169], les cordes AP, CR sont parallèles.
RAciproqcb. Si les cordes AP,
BQ, CR sont parallèles, et que, des
extrémités P, Q, R, on abaisse des perpendiculaires sur les côtés
BC, CA, AB du triangle inscrit, ABC, les trois droites ainsi
mettéet se cotgxnt sur la circonférence.
Soil PM perpendiculaires à BC, el rencontrant, en M, la circonférence. Tirons MR.
Les angles inscrits PMR, ABC, correspondant à des arcs égaux, sont égaux. Mais PM est perpendiculaire à BC ; donc MR est perpendiculaire à BA.
Les projections A', B', C d'un point M d'une circonférence , sur les côtés BC, CA, AB d'un triangle inscrit, ABC, sont en ligne droite (").
(■) CoDtrairement k li disposition adoptée sur la figure, les arca PH, / poorraient avoir une partie ciimmune : la eoncliuion subsiste.
(•') Tbéorème de Robtrt Simton, célèbre Géoraèbv du siècle dernier.
DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 7a
Tirons B'A', B'C : il Faut démontrer que les angles A'B'C, AB'C sont^ux.
I Sur les cordes MC, MA,
prises comme diamètres, décrivons les circonférences MB'CA', MB'C'A.
La première contient les points A', B'; la seconde, les points B', C. En outre [G., 187],
