A'BC = AB'C

Remarque. Les points A', B', C sont les intersections, deux i* deux, des circonférences décrites sur les cordes MA, MB, MC. Soient a, b, c les centres de ces circonférences, c'esl-à-dire les milieux, respectifs, de MA, MB, MC. Il est visible que les quatre points H , a, fr, c, appartiennent à une même circonférence (*)■ Consé<|ucmment :

1* Si trois circonférences coupent, en un même point M, la circonférence contenant leurs centres d , b, c, les seconds poinig d'intersection, A', B', C, sont en ligne droite (").

2* Ces points A', B',C' sont les projections de M sur les cotés du triangle ayant pour sommets les points A', B', C, diamétralement opposés à M, dans les circonférences a, b, c.

C) Cette nouvelle ligoc, non représentée sur la ligure, ai homotliifiqur

avec U circonférence HABC ; H est le cttdre d'homolliéiie ou ie $imitUude,

{") Nomtliei Atmalu de MalMmaliipttt, deuxième série, t. X, p. 20B.

Leg projections obliquei (*) A', B', C d'un point M d'une circonférence, tur les calés BC, CA, AB d'un triangle inscrit, ABC, sont en ligne droite ('*).

Nous laissons , au lecieur, le soin de développer la déinonstralion : elle diffère , très-peu , de la précédente.

ThéarkMC vu.

Soient A', B', C les points où les côtés BC, CA, AB d'un triangle ABC sont coupés par une transversale :

1" Les circonférences circonscrites aux triangles AB'C, BC'A', CA'B' se coupent en un même point H ;

S* Les points A', B', C sont les projections (obliques ou orlhogouales) de M, sur les côtés du triangle donné;

5' Les points M, A', B', C appartiennent à une même circonférence.

1* SoilH le second point d'inier< section des circonférences AB'C, CA'B' : je dis que ce point appnrlienlàla circonrérencc BC'A'{"").

En eRet, A, B, G désignant les angles de ABC, on s, par des théorèmes connus :

C'MB' = A, B'HA' = Î'— ACA— C;

(') Celte expression signiGe que les points A', B', C soni les extrémilés d'abtiqatt MA', MB', HC, faisant, avec les e&lis de ABC, dan* It mime tem, un même angle a.

("] Gëncralisatioii du Théorème ilc Simson. (Cairles, Giomilrit supérieure, p. 281.)

(•") Non repréientée sur la fîfure.

DE GÉOMÊTRIR ÉLÉMENTAIilE. 35

donc 9 en ajoutant,