C'MA' = A-+-C = 2' — B
Ainsi, le quadrilatère BC'MA' est inscriptible ; ou, ce qui est équivalent : le point M, intersection des circonférences A'B'C, CA'B', appartient à la circonférence BC'A'.
2* Les angles ACM, AB'M sont égaux, comme inscrits au même segment. Les angles MA'B, AB'M, supplémentaires de MB'C, sont égaux. Donc ACM =BA'M = AB'M = a; c'està-dire que ks points A', B', C sont les projections de M, sur les côtés du triangle ABC.
3* Si Ion tire les cordes MA, MC, on a :
AMB' = A'C'B, CMB'==BA'C';
AMB' -^ CMB' = A'(/B -h BAC, ou
AMC = 2*'— B.
Ainsi, les quatre points A, B, C, M sont situés sur une même circonférence.
Remarque. Le Théorème VI peut èlrc regardé ronimc une Réciproque de celui-ei, ei inversement.
Théorème V|||.
Si Coh considère les triangles formés par quatre droites D| , D2, D3, D4, prises trois à trois , et les circonférences circonscrites A ces triangles : 1® les quatre circonférences se coupent en un même point M; 2* fes centres 0^ , O2, O3, O4, et le point M , sont sur une même circonférence (*).
La première partie de la proposition ne diiïère pas du Théo-
(*) NouveUrs Annaha, deuxième série, t. X, p. 200.
se THÉOUÈMES ET PROBLÈHES
rèmc Vl[, car la droite D4 est une transversale, relativement au triangle formé par les droites Di, D„ D,.
Quant k la seconde partie, elle est comprise dans le Théorème III. En efTei, par le point M, intersection des circonférences circooscritcs aux triangles (D2, Dj, D4), (D|, Di, Dj) ei les centres 0|, Ot, faisons passer une circonférence C : D^ est une transversale menée par le second point P, commun aux circonférences O, , 0(. Done
la circonférence QMR , qui ne diffère pas de O3 , » son centre
sur C. Et .linsî de suite.
Tkéarèmr IX.
La droite de Sirnson (Th. V) est parallèle aux corde» AP, BQ, CR gui joignent les sonimels du triangle ABC , aux extrémiléi des cordes MP, MQ, MR, respectivement perpendiculaires aux cô(éjBC,CA, AB(Th.lV).
Soient G, H les points où la droite A rencontre la circonférence. Les angles A'B'C, A'MC sont égaux (Th. V). Donc
arc AG = arc PH.
Ainsi , la droite de Sirnson^ A, est parallèle à la corde AP.
DE GÊOMÉTttlE ÉLÉMENTAIRE.
La droite de Simgon divise, en deux parltet égalet, l<^ droite merâe, du point donné, M , an point H oit concourent la hauteur» du triangle ABC,
Soient C" le point symétrique de C, rcJaiivemcm au diamêlre parallèle à AB; et S le point où CH, prolongée, rencontre C'A'. D'après le Tliéorému Il (Rem. V), C'C'=HC.
D'un aulre calé, la (igtire CSC'B élant un parallélogramme (Th. IX),
