AP = MA + MC

Reste à prouver que AP == MB.

Or, Tangle PMC , supplément de PMA , égale CBA; ainsi, le triangle isoscèle PMC est équilatéral. Donc , les triangles PCA , MCB sont égaux, comme ayant un angle égal, compris entre deux côtés égaux, chacun à chacun ; etc.

Réciproque. Si la corde MB égale la somme des cordes MA , MC, le triangle ABC est équilatéral.

à deux, forment des êommei égaies. En reprenant la démonstration donnée à Tendroit cité, le lecteur trouvera les modifications que cet énoncé doit subir, dans le cas d*ttn quadrilatère non convexe.

THËOHËHES ET PROBLÈMES

Trouver la bissectrice de l'angle de deux droites M P, NQ , qu'ai ne petit prolonger.

Coupons, par deux droites quelconques MN, PQ, les droites

I données. Menons les bissecirices MO, NO des angles M, N : le point Ô appartient à la droite cherchée, parce que les bissectrices des trois angles d'un triangle concourent en un même point [G., KO]. De même, si nous menons les bissecirices PO', QO' des angles P, Q, nous obiiondrons un second point 0' de la bissecirice demandée; donc celle droite est 00'.

Weiix dixonférences qui se coupent étant données, mener, par l'un des points d'intersection, une double-corde qui ait une longueur donnée L.

Supposons le problème résolu, et soit BAC la droite demandée. Des centres 0, 0', abaissons OM, O'H' perpendtculaîre sur BC; puis menons O'F parallèle â BC Nous Formons ainsi un triangle rectangle OO'F, dont l'hypoténuse 00' est la distance des centres, et dans lequel

0'P = UU' BC=iL.

Si donc l'on décrit une circonférence sur 00' comme diamètre, ei que du centre 0', avec { L pour rayon, on (race un arc coupant cette circonférence en deux points F, G, il suffira de

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIIIE, sf

mener, par chacun des points d'inierseclion A ou A',deux parallèles aux droiles OF, OG : on obtient ainsi les droites BC, B'C, DE , D'E', qui satisfont k la question.

Intcrire, enlre deux circonférences données, une parallèle à ■me droite donnée AB, qui ait une longueur donnée L.

Le problème étant supposé résolu , soil CD la droite cliercliée : si, par le eenlre O, on mène OE parallèle à AB, et égale h L, puis que l'on lire OC et ËD,la ligure OCDE est un porallologramme, dans It'quel DE égale OC.

Si donc, du point E

coinme centre, avec OB

pour rayon, on décrit une circonférence qui coupe, en D, D' la

circonférence O', et que, par ces points, on mène des parallèles

DC, U'C h AB, elles répondent à la question.

far deux points A , B , donné» sur une ciixonférence, mener deux cordes parallèles A(<, BD, dont la somme soit donnée. Soil EF la droite qui joindrait les milieux de la corde AB cl de la corde inconnue CD.

Dans le trapèze ABCD, la droite EF est égale à la demi-somme des bases : donc le point F se trouve sur une cireonfércnce décrite du point E comme centre, avec un rayon égal à la moitié de la somme donnée [G., 169, 162]. D'un autre côté, les cordes AB, CD. égales entre elles, sont également éloignées du eenlre;

58 THÉORÈMES ET VnOBLÈMES

donc le point F se trouve sur une autre circonférence, décrite du point 0 comme centre, avec OE pour rayon [G., 168]. De plus, la droite CD est tangente à eeite cîreonrérence. Nous pouvons donc regarder ta question comme résolue.

Remarque. Pour que le problème soit possible, il faut cl il suffit que la somme donnée soit inférieure » 40E. Dans ce cas, il admet deux solutions.

Construire tin Iriaivjle ABC, connat'jijant un angle A, la hauteur correspondante et le rayon du cercle inscrit.

Construisons le cercle

inscrit 0, et décrivons du point A comme centre, avec un rayon égal à la hauteur donnée, une circonférence DEF. Si nous menons, à ces cercles, des tangentes communes extérieures BC, B'C, nous obtiendrons deux triangles ABC, AB'C, satisfaisant à l'énoncé.

Conttruireun triangle ABC, connaiisanl ta base AB, la lotnme des deux autres cotés AC, CB , ef un angle A à la bote. On connaît l'angle A et la base AB ; donc la direction du c6té AC est déterminée. Si l'on prend AD égale k la somme donnée, et qu'on élève une perpendiculaire EC au milieu de BD, cette droite rencontre AD au sommet cherché G. En effet, CB=^CD; donc