AC + CB=3AD

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAlItE. 99

Problème Vil.

Construire un triangle ABC, connaissant la base AB, la différence des deux autres cotés AC, CB, et vn angle A à la base.

Ce problème se résout comni<^ celui qui précède.

Pr^Mènir irill.

Construire un triangle ABC, connaissant un angle Bàla base, la hauteur h, et le périmètre 2p.

Si, après avoir Tail Tanglc XBY égal à Fangle donné, on mène

une parallèle a BX, qui en soil distante de /i , on connaît le sommet A , et Ion est ramené au Problème VI. En effet, la somme des côtés inconnus AC, BC est égale à 2p — AB.

Preblèmr ËTL,

Construire un triangle ABC, connaissant la base AB, l'angle opposé C y et la somme des deux derniers côtés AC, BC.

En supposant le problème résolu , prenons^ sur le prolongement de AC, CD = CB , et menons DB. Le triangle BCD étant isoscèle, nous aurons D = ^ACB; donc Tangle D est connu.

De là résulte la construction suivante :

On prend, sur une droite indéfinie, AD égale à la somme donnée. Au point D, on fait, avec AD comme côté, un angle ADB

m mCoRÊMEs ET nouisEs

mniiié de l*»n^ donné C Du poioi A eomiiK centre , avec ud rayou ^1 à b base donnée, on déorit une dreonlërence qui coope DB au sommet B. Enfin, au mOieu de BD, on élève la perpendieiilaire EC, laquelle détermine le dernier sommet C.

Construire un Iriomjle ABC, comtaiuant la base AB. l'angle opposé C, et la différente des deux dermiers côtés AC. BC.

L'analyse de ee problème est la même qoe celle du Pro-

I blême IX. Elle conduit à la construction suivante :

On prend, sur une droite indéfinie , AD égale à la dlBerence donnée. Au point D, on Tait, avec AD comme côté, un angle ADB= !<<+ |C. Du point A comme centre, avec un rayon égal k la base donoée, on décrîi une circonrérence qui coupe DB au sommet B. Enfin, au milieu de DB, on élève la perpendiculaire EC : on trouve ainsi )e dernier sommet C.

Conslruire un triangle ABC, connniMant la bote AB et le cercle inscrit O.

Si, par les extrémités A, B de la base, on mène des tangentes au cercle 0, on aura le triangle cherché.

Remarque. Quand l'angle AOB est droit, les tangentes deviennent parallèles entre elles, et le problème est impossible.

DE GÉOMÉTRIE KLËHEKTAIItE.

Vr*kMMe XII.

Constrtiire vn triangle, connaùâant le cercle imcrit, et l'un dei trois cercles ex-inscrits.

En menant, aux cercles 0, 1, une tangente commune intérieure

CB, et deux tangentes communes extérieures AB,AC, on oblient le triangle demandé ABC [G., K7J.

CotutnUre un triangle, connaissant deux des trots cercle»

«r-tRHTJfl.

En menant, aux circonr^rcnces i, I', deux tangentes communes

02 THfiOR^.MKS ET PROBl.ÈMF.S

intérieures BC, AC, et une tangente commune extérieure AB, o forme le Irinngle dpmnndé ABC.

rraMène XIT.

Construire vn Iriaiifile, ronnaUianl lex centres I, 1', I" des trois cercles ex-inscrils.

D'après (e Tliéorcme 1, les sommets du n-ifiii(çle elierclié ABC sont les pieds des iuiuicurs du iriaiigle II'I ".

Remarque. Si, an lieu dos iroiii centres I, I , I ", on en donnait deux, I, r, avee le cenlre 0 du eercle inscrit , on obtiendrait ie triangle ABC en menant les droiies IBI", l'Ai", OC, respectivement perpendiculaires ù 01', 01, M'.

Construire un triangle ABC, cotmaisiant la base BC, iangle opposé \ et le rayon du cercle inscrit.

Le rayon du cercle inscrit élant connu , on peut facilement iracer ce cercle 0. Soient D, E les points oîi il louche les côiés de l'angle donné A. Si l'on prend DH = El a: BC, et que l'on décrive le cercle O' qui touche AB en H et AC en I , ce cercle sera ex-inscrit au triangle ABC.

En effet, d'après le Théorème XX,

BD -»- BH <» BF -»- CP =s BC.

Il suffît donc, pour déterminer le triangle ABC , de mener une tangente commune aux cercles 0, O'.

Construire un triangle ABCfConnamant le périmètre y l'angle A et le rayon du cercle inscrit.

Soient, comme dans le Problème XV, 0, 0' le cercle inscrit et Fun des cercles ex-inscrits. On aura (Th. XX) AH=AI=p. Et comme les droites AH, AI comprennent entre elles l'angle donné A , on peut construire le cercle ex -inscrit , puis le cercle inscrit, dont le rayon est Tune des données de la question. Il ne s*agit donc plus, pour avoir le triangle ABC, que de mener la tangente commune RC.

Construire un triangle ABC, connaissant la base BC, la somme des deux autres côtés et le rayon du cercle inscrit.

A cause de BM -h CN = BC (Pr. XV),