LIVRE III
Lorsqa'ime droite AB est partagée en deux segments AC, BC, proportionnels atfx nombres s, b; si des points A, B, ComJmsse, sur «ne droite quelconque XY, des perpendiculaires AA', BB', ce, l'on a
(a + b) CC' =» a . AA' -I- b . BB'.
Menons la diagonale A'B, qui rencontre CC CD un point D. Les triangles semblables BCD, BAA' donnent CD BC a
AT' ~ Bk'^ â'+b' d'où
(a-+-6)CD = a.AA'.
De même, k cause des triangles semblables A'C'D, A'B'B :
CD A'D AC b
¥b""vb"~AB^o-*-6'
{o-«-6)C'D = 6.BB'.
Ajoutant, on trouve
(o + 6)CC' = o.A\'+b.BB'.
Remarqttet. — I. Lorsque la droite \Y ne laisse pas, d'un même cdté, les trois points A, B, C, on doit affecter du signe + les perpendiculaires situées d'un calé de cette droite, et du signe — , celles qui sont de l'autre cAté.
g4 THËOnÈHES ET PROBLÈMES
Considérons, par exemple, la figure ci-joinle. Nous aurons, comme précédemment :
{a + 6)CD = «.AA', (a-+-6)C'D = fc.BB'.
Mais la perpendiculaire CC esi égale à CD— CD; donc
{o -*- fc)CC' = 6. BB' — o . AA'.
If. Si les segments AC, BC, au lieu d'être additifs, sont souxtraetif», c'est-à-dire si le point C est situé sur le prolongement de AB, on aura
(a — fc)CC' = a. AA' — 6.BB'.
En effet, de
AC a
puis, par le théorème ci-dessus,
a.AA' = 6.BB' + (a — 6)CC'.
Étant donné un iyttème de points A, B, G..., on peut toujoun déterminer un point tel, que ta dislance à une droite guelconqiieXV soit égale à la moyenne arithmétique entre les distance» de la mime droite, auxpoinls A, B, C,
D'après le Théorème I, la proposition est vraie dans le cas oi!i le nombre des points A, B, C... se réduit à deux. Supposons donc que celte proposition ait élé démontrée pour le cas de n points A, B, C, D, E, et vérifions qu'elle a encore lieu si l'on considère (n + 1) points A, B, C, D, E, F.
Soit I le centre des moyennes distances (*) des points A, B, G, D» E; de manière que
nAV = AA' -+- BB' ^ CC h- DD' -»- EE'.
Menons IF, et partageons cette droite en deux segments 10, OF, proportionnels aux nombres 1 , n; nous aurons, par le Théorème I :
(n4-i)00' = njr4-FF.
Donc
00' = —^ FAA' -4- BB' + ce -*- DD' ^- EE' -^ FF'l
Remarques. — I. Pour trouver le centre des moyennes distances d'un système de points A, B, G^ D,.;. il suffit, évidemment, d'appliquer la règle suivante :
Menez la droite AB, et divisez cette droite en deux parties égales AM, MB; menez la droite MG, et divisez celte droite en deux parties MN, NG, proportionnelles aux nombres 1 , i; menez la droite ND, et divisez cette droite en deux parties NP, PD, pro^ portionnelles aux nombres 1 , 3^ etc. : le dernier point de division 0 sera le centre des moyennes distances cherché.
II. Tout système de points a un centre des moyennes distances.
III. Un système de points ne peut avoir qu^tm seul centre des moyennes distances.
En effet, s'il en avait deux, ces deux centres seraient également distants d'une droite quelconque; ce qui est absurde.
IV. Si une droite XY est située de manière que la somme algébrique de ses distances à des points A, B^ G, D, ... soit nulle, cette droite contient le centre des fnoyennes distances du système de ces points.
{*) En Mécanique, ce point est appelé centré de gravité.
86 THÊORfeHES ET PROBLÈMES
De celle dernière proposition , od déduit les conelusions suivantes :
V. Le centre des moyennes distances d'un triangle est le point d'intersection des trois médianes.
VI. Le centre des moyennes distances d'un quadrilatère est le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposés.
VII. Le centre des moyennes distances des sommets d'un polygone régulier est le centre de figure de ce polygone.
La somme des carrés des distances de n points A, B, C, ■-, à «tt point quelconque S, est égale à la tomme des carrés des dislances des mêmes points- à leur centre O, augmentée de n fois le carré de SO.
Soient A', B',C', ..., les projections des points A,B,C,..., sur la droite SO; nous avons [G., 269] :
AS =ÂÔ + OS + aos.A'o,
ÎS""— BOV ÔS"- 20S.B0,
Cl' — C6'+ m'- 20S. C'O,
égalités d'où résulte
ÂS'+'B'-i-'ÎSV-
• • — âdvbbV w+ . ■ H-'sss'
Il est visible que le point 0, centre des moyennes distances des points A, B, C,... est aussi le centre de leurs projections A', B', C',... Donc la somme algébrique des distances A'O, B'O, C'0...> est nulle, et la relation précédente se réduit à
DE GËOMÉTRIE ÉLËMfilf TAIRE. 87
Refnarque. Celte égalité donne
Gonséquemment, la somme des carrés des distances d'un point S» à des points donnés A^ B, G, ... , est un minimum, quand ce point S se confond avec le centre 0 des moyennes distances.
Théorème l¥.
Le lieu géométrique des points tels, que la somme des carrés des distances de chacun, à des points donnés A, B, G, ... , soit constante, est une circonférence qui a pour centre le centre 0 des moyennes distances des points A, B, G,...
S étant un point du lieu, soit / la constante donnée. L'équation (1) devient
P = ÂÔ* -*- "BÔ* -h ... -t-n.OS'; ou
ÔS"==irP — ÂÔ*— BÔ*— œ* 1;
c'est-à-dire que la distance OS est constante : le lieu est donc une circonférence ayant pour centre le point 0.
Remarques. — I. Pour que la circonférence existe, on doit avoir
r > AO -4- BO -*- CO -4- . . . .
II. Si P=ÂD*H- lO^-f- CD^H- •.., la circonférence se réduit au point 0.
Dans tout triangle ABC » le point H de rencontre des trois hauteurs, le centre D des moyennes distances, et le centre 0 du cercle circonscrit, sont sur une même droite. De plus, la distance DH des deux premiers points est double de la distance OD des deux derniers.
Soient E, F les milieux des cdlés AB, BC Menons OE, FO, AH, CH, CD et DE.
Les triangles AHC, FOE, sont équi-
angles entre eux; donc
