D,E,FO

Remarque. Si 1 on fait tourner A'B'C autour du centre S, jn&< qu a ce que le rayon vecteur SA' prenne la direction SA, les deux triangles, déjà semblables, seront semblablement placés: les droites liomologues concourront en S. Par conséquent» si les deux triangles sont égaux y le point S, que Ton appelle alors centre de rotation, est le milieu commun des arcs ASA', BSB', CSG'.

Tké^rèaie ¥111.

Si, par les sommets A, B, C d'un triangle, on mène les droites AD, BE, GFy également inclinées sur les côtés opposés, le triangle A'B'C, formé par ces transversales, est semblable au triangle donné.

Considérons, par exemple, le quadrilatère BFB'D, et désignons par a Tinclinaison donnée (**). Dans ce quadrilatère ,

BFB'^a* — a, D = a; donc

C) MiQViL, Journal de LiowoUle, i. III, p. 48K (1838). 1 (**) On suppose que Tangle a est toujours situé de la même nunière» quand on fait le tour du triangle ABC.

DE GÉOHËTRIB ÉLÉHENTAiaE.

et, par conséquent

FB'D-i.FBD = 2', ou

Ainsi, les triangles A'B'C, ABC sont semblables.

Remarques. — I. Le triangle A'B'C est circonscrit au triangle ABC.

II. Les quadrilatères EA'AF, FB'BD, DC'Œsontintcriptibles (Th. VU). En outre, les circonféretwet EA'AF, FB'BD, DC'CE panent au centre de similitude, S, f'ei triangles ABC, A'B'C.

III. Chacun des sommets A', B', C est situé sur une dramférence symétrique de la circonférence ABC, relattoemenl au côté correspondant (Liv. II, Th. II, Rem. I).

IV. Si l'angle a est droit, le triangle A'B'C se réduit au point de concours des hauteurs ABC.

V. Quand « = | = 60", le second triangle est égal au premier. Pour démontrer cette propriété intéressante, construisons

« THÉORÈMES BT PROBLÈMES

les poinlsa,6, symétriques du centre 0 delà eirconrérence ABC, relalivement aux cdtés BC, AC : la droite ab est égale et parallèle à AB (Th. VI).

Soit bfa la deinî-circonrërence décrite sur ob comme diamètre. Si l'on construit l'angle oA/'égal à |', la corde bf sera parallèle au côté A'B' cherché, et égale à la moitié de ce cété (Liv. II, Prob. II et XXIII). Mais. 0 étant le milieu de ab, il est visible que le triangle 06/* esi{ équi-

laiéral; donc ^A'B'= ^ab={AB; ei enfin A'B' = ABO VI. Dans ce même cas particulier, le centre S (Rem.lï) est le

milieu commun des arcs ASA', BSB', CSC' (Th. VII, Rem.).

Toute transversale X'B'C détermine, sur les côtés d'un triangle ABC, six segments tels, que le produit de trois segments lum consécutifs est égal au produit des trois autres (**).

Menons, par le sommet C,la droite CD parallèle à la transversale; nous aurons