AA' -+- BB' + CC'>-^ (AB + BC + CA

Thé*rèHe T.

Des angles formés par une médiane CD, avec les deux cotés adjacents , le plus grand est celui qui correspond au pbtt petit côté BC.

Des sommets A, B, abaissons, sur la médiane CD, tes perpendiculaires AE, BF : ces droites déterminent deux triangles rectangles égaux entre eux, comme ayant l'hypoEénuseégaleetun nngleaigu égal.

Prenons ensuite, sur le prolongement de CE, EG = CF, et lirons GA : le triangle rectangle AEG sera égal au triangle rectangle BFC.

AC, AG sont deux obliques menées, du point A, à la droite CG.

D'après ce qui précède, la première oblique surpasse la seconde ; donc [G., 103]

angleACE < angle AGE, ou

ACl) < BCD.

Tlié«rèBie VI.

Dans tout triangle y une bissectrice intérieure quelconque ne surpasse pas la médiane correspondante.

Si les angles A^ B étaient égaux, la bissectrice CD coïnciderait

avec la hauteur GP et avec la médiane du côté AB. Supposons donc A > B; ou , ce qui est équivalent, ACP<BCP. D*après cette hypothèse, la bissectrice CD est située dans l'angle formé par le coté BC et la hauteur CP. ce étant la médiane, on a (Th. V), ACC > BCC : la bissectrice CD est située dans l'angle formé par la médiane CC et la hauteur CP.

On a donc, finalement,

CP < CD < ce.

Théorème Vil. '

Dans tout triangle, la somme des bissectrices est comprise entre le périmètre et le demi^périmètre.

D'après le Théorème VI , la somme des bissectrices ne surpasse pas la somme des médianes; donc (Th. IV), la première somme est moindre que le périmètre.

En second lieu, si Ton considère le triangle ABC, on a

AO H- OB' > AB', AO -♦- OC > AC, . BO -^ OC > BC, BO -+- OA' > BA', CO -f- OA' > CA', C0 + OB' >CB';

e THÉORÈMES ET PnOBLÈHES

d'où, par addition,

â(AA' -*- BB' -t- CC) > AB -t- BC + CA;

Dans tùul triangle ABC, à u» phu grand côté BC est opposée une plus petite bmectrke AD.

0 étant le point d'intersection des bissectrices, il faut d<^montrci la relation