OP -♦- R) . AP = (O'P H- R')A' P

En supposant R> R', nous venons de trouver OP>0'P. Donc, par compensation, AP < A'P. Ainsi, l'axe radical est plus près de la plus grande circonférence que de la petite (**).

(*) La théorie des axes radicaux est due à Gaultier (de Tours).— /oumaf de l'École poly technique ^ i6« Cahier.

(**) En se basant sur la notion de la puissance d'un point, M. Laisant a trouvé un grand nombre de théorèmes remarquables , analogues à ceux que

TBtORlMBS ET n«LÈlIBS

Le* axe* radÙMux de trois àramfénnee», anuidéréet deux à deux, te coupent en tm même point.

Les azea radicaux HN, M'N' secoupoiten on pobt tel, qaesi l'on mène, de ce poiot, les tangeoles CT, CT', CT*, on aura, en même temps, CT'=CT", C'r=CT. Donc CT'=CT; donc le point C est situé sur l'axe radical M' N ".

Araurfuef. — I. Le point C est le centre rodïca/ des trois circonférences.

IL Pour trouver l'axe radical de deux circonrérences C , C qui n'ont aucun point ccHomun , il suffit de les couper par une

iMiu avons démonirés ci-dcssiu (pp. 86, 87).Voieî les énoocés de quelquesune* de CCS proposilioas nouvelles ;

!• ABC... étant va polygone èU a côtés , inimM un ccrrle donf le eenire etl O ; toit G te centre de graililé (ou centre det nutt/eann diilanert) da fitème dei pointe A, 6, C, ..., et H un point prit tur la cirtonférener qui a pour diamètre QG : la puiitante du point H , par rapport au eerele O, a pour exprès-

■î-{Âïi*-KBtf-t-C«V-

9* Le lieu dei pointi dont la tomme det puitianeet, par rapport à n nrcm*férenctt donnéet, ett eontiante, etl une eirtonférenee.

3* La tomme det puiitaneet d'un point qwleonqite, par rapport aux eirconfirencet déerilet nir ht quatre eiléi d'un quadrilatère, comme diatnèlreu, ett égale à quatre fait la puiiiance du mime point, par rapport à la cirtonfé' renée ayant pour diamètre la droite qui joint Ici milieux det diagoaaiet.

i* Soient , iiir un plan, Iroit circon/érencei, agant pour centrei C, , C, ,C,; OJeur rentre radical lit , u» point quelconque du plan. Lei différeneet da piûi' tancet da point H, par rapport aux trait circonfireneu, tant pmporlionjtelk* au* projection! det eiiét du Iriaitgle C,C,C, , fur la droite OH ; de.

ffloiuelle Corretpondanee mallièmaiiquf, looHrs I cl U.)

DE GËONËTniE ÉLÉMENTAIRE. K)

circonférence auxiliaire C", puis d'abaisser, du point de rénconire des cordes communes, une perpendiculaire sur la droite qHijointlesceiiires des circonférences C, C.

m. Si trois circonférences se coupent deux à deux, les trois cordes communes ne coupent en un même point; si trois circonférences se touchent deux à deux, les trois tangentes communes se coupent en un même point; etc.

Le lieu des centres M, des circonférences çtii coupent orthogonalement deux cercles donnés 0, 0', est l'axe radical de ces cercles. Si les circonférences O, M se coupent orthogonalemeni en T, les rayons OT, (ÏT sont perpendiculaires entre eux :MT est une tangenle à la circonférenccO. Pour la même raison, le rayon MT' est langent à la circonférence O'.

Mais MT= MT'; donc le lieu des centres M coïncide avec le lieu des points d'où l'on peut mener, aux circonférences O, C, des tangentes égales entre elles. C'est ce qu'il fallait démonircr.

Remarque. Celte proposition , combinée avec le Théorème XX , conduit à diverses conséquences, parmi lesquelles nous énoncerons eelles-ci :

i' Si les cercles 0, 0', n'ont aucun point commun, les circonférences M, M', M", .„,qui les coupent orthogonalemeni, passent toutes par deux points fixes P, F', situés sur la ligne descentres 00', et également distants de l'axe radical MP. Ces points F, F' divisent harmontquemen/ le diamètre AB du cercle 0, et le diamètre A'B' du cercle O'.

9* Lorsque les circonférences 0, 0' w touchent, les circonférences H passent toutes par le point de contact C.

3" Si les circonférences 0, 0' sont sécantes, les circonférences qui les coupent orthogonalement n'ont aucun point commun; de plus, ces circonférences M, M', M", ..., ne rencontrent pas la ligne 00' des centres.

4® Cette ligne des centres est, dans tous les cas, Vaxe radical des circonférences M, M', M", ..., considérées deux à deux.

5* Les circonférences M, M', M", ... sont orthogonales, non-seulement par rapport aux cercles donnés, mais encore relativement à toutes les circonférences qui, considérées deux à deux, ont même ligne des centres et même axe que les cercles donnés {*).

VhéorèMe XM.

L'axe r€uiical de deux cercles est également distant des deux polaires de chaque centre de similitude.

La proposition est vraie lorsque les deux cercles ont des tangentes communes; car le milieu de chacune de ces droites est sur Taxe radical; et les extrémités de la tangente, c*est-à-dire les points de contact, appartiennent aux polaires du centre de similitude par lequel passe cette même tangente.

Dans tout autre cas, le théorème subsiste. En eflet, les relations qui déterminent les centres de similitude, leurs polaires, et les axes radicaux, sont indépendantes des grandeurs et des positions relatives des deux cercles.

Théorème ILIilI.

Le centre radical de trois cercles 0, 0', 0" est le centre commun des huit hexagones ayant pour côtés les polaires des six centres de similitude, pris trois à trois.

(*) Lorsque plusieurs circonférences, considérées deux à deux, ont même ligne des centres et même axe radical, nous disons, pour abréger, qu'elles ont même axe.

DB GÉOMÉTRIE ÉLËHEKTAIRE. 117

Soient, pour fixer les idées :

C le centre de similitude directe des cercles O', 0"; C — — 0",0;

Soient, par suite :

P, Q les polaires du point G, relativement aux centres 0', O"; P', Q' ~ C. — O'.O;

Les six droites P, Q, P', Q', P", Q" déterminent un hexagone dont les calés sont parallèles deux à deux.

Remarquons maintenant que, d'après le théorème précédent, le centre radical I est également distant des côtés opposés de l'hexagone. De là résulte que les côtés et les sommets de celte tigure sont deux h deux symétriques par rapport au point 1 : c'est ce que l'on exprime en disant que ce point est le centre de l'hexagone considéré.

Thé*r*Mft XLIil.

Lorsque devx circonférences lonl orthogonales , ia polaire d'un l>oinl M de la première, par rapport à la seconde, passe par le point M' diamétralement opposé à M.

Soit P le second point d'intersection de la circonférence C avec la droite qui joint le point M au centre 0. Les cirronférences étant orlliogonalcs.ona (Th. XX)