OP.OM = (>Â
en sorte que les points M, P sont réciproques.
Donc la polaire de M passe au point P. Et, comme l'angle MPM' est droit, cette polaire est MP'.
Thé^rène XLIT.
Le lietê des points réciproques d'un point donné M, relativement à toutes les cirœnfêrcnces ayant même axe, est la circonférence orthogonale aux circonférences données, passant par le point M.
Supposons y dans la démonstration précédente, le point M fixe, ainsi que la circonférence CM. Si la circonférence 0 se déplace, en restant orthogonale au cercle C, de manière que le centre 0 décrive une droite OX, la perpendiculaire CD à OX sera Taxe radical commun à toutes les circonférences 0, considérées deux à deux {*). Pendant ce mouvement du cercle O, le point P, réciproque de M, décrit la circonférence CM. C'est ce qu'il fallait démontrer.
Tkéorèiue JLÏÏjT.
V Le lieu des points M tels^ que les polaires de chacun d'eux, par rapport à trois cercles donnés C, C, C", se coupent en un même point P, est la circonférence 0, orthogonale à ces cercles; 2** le lieu des points P est la même circonférence 0 ; 3" /c centre de cette circonférence est h centre radical des cercles donnés; 4" les points M^ P sont diamétralement opposés (**),
Nous laissons au lecteur le soin de développer la démonstration : elle ne présente aucune difficulté. 11 en est de même pour la proposition suivante, due à M. Faure.
Théorène XLVI.
Trois cercles étant donnés, si Von trace une circonférence ayant même axe que deux d'entre eux et toudiant le troisième, les six points de contacts ainsi obtenus coïncident avec les points où les circonférences données coupent la circonférence orthogonale.
{*) Voir la note de la page 146.
(**) Théorème de J.-B. Durrande {Annales de Gergonnoy t. XVI.)
DE GÉOHÉTBIE ÉLËHBNTilllE.
Le point de rencantre 0 des hauteur» d'un triangle ABC est : i' le centre radical dex circonférence» ayant pour diamètre» le» calé» du triangle; 3* le centre radical des circonférences ayant pour diamètre» le» segments OA, OB, OC de» hauteur».
f* Les circonférences décrites sur AC et BC passent par le point C ; donc leur ase radical est CC; cic.
3* Même démonstration.
Remarque. A cause de la première partie du ihéorcmc, on a OA . OA' = OB. OB' = OC . OC,
Dont tout iiuadrilatère complet, le» circonférences décrite» sur le» diagonales BE, CD, AF comme diamètres, étant prises deux à deux, ont même axe radical.
Les cordes CG, UE, AI, respectivement perpendiculaires à
t» .THtOBÈIIES ET MtOtLËHES
D6, BH, FI, sont les bautears du triangle AEC : donc elles concourent en an point L; et, 1 cause des quadrilatères inscriptibles HCGE,HEAI,A1CG.
on a
