LC.LG = LB.LE = LA . Ll

Par conséquent, le point de rencontre L des hauteurs du |rianglc AEC appartient aui ascs radicaux des eîi^ conférences CD, HE, AF, prises deux A deux.

De même , ht poinit de rencontre M , N , P, relatifs aux triangles ABD, DEF, BCF, appartiennent, chacun , aux mêmes axes radicaux; donc ceux-ci sont confondus en une seule droite LMNP (*).

Les points de reiiamlre det hauteurs des triangles détermitiês par les cotés d'un quadrilatère comptet sont situés sur une même droite.

Ce théorème est compris dans celui que nous venons de démontrer.

Dans tout quadrilatère complet, les milieux 0, 0', O" des trois diagonales sont en ligne droite.

(') SI les points H, N, P poavaicnl coïncider avec L, on devrait jeotement coodure, comme dans le théorème prêchent, qac le point L est le centré radical de» trois circonrérencet.

DE GÊOMÊTUIE ÉLÉMENTAIRE. 121

En effet, les trois lignes des centres 00', O'O", O'O sont perpendiculaires à Taxe radical commun LMNP ; donc elles coïncident en direction.

Remarques. — L Ce théorème peut être démontré directement.

II. Les points 0, 0', 0" étant les milieux respectifs des droites BE, CD, AF, il s'ensuit que la droite des centres est un axe des moyennes distances, relativement aux six sommets A, B,C,D, K. F du quadrilatère (*).

Théorème I«l.

Si, d'un point quelconque 0, on mène des droites aux sommets d'un quadrilatère ABCD et des perpendiculaires à ces droites :

1° Les points oii la perpendiculaire répondant à un sommet coupe les droites qui joignent deux à deux les trois autres sommets sont, trois à trois, sur quatre droites aa"a"', bb'b'", cc'c", d'd"d'";

2** Ces qiAatre droites concourent en un même point I.

La première partie de la proposition a été démontrée ci-dessus (Th. XXVII).

Quant à la seconde partie, elle se déduit du Théorème XLIX, par le moyen des polaires réciproques. Nous laissons au lecteur le soin de développer la démonstration.

Théorèaïc lill

Dans tout quadrilatère complet, chacune des diagonales est partagée harmoniquement par les deux autres.

Soit ABCD un quadrilatère, dont les trois diagonales sont AC, BD, EF. Pour démontrer que la diagonale EF, par exemple, est

(*) Les démonstrations précédentes (Th. XLVIII, XLIX, L) ont été données par M. Mention [Nouvelles Annotes de Mathématiques, tome XI).

partagée harmoniquemeni aux points G, H, par les prolongemenls des deux autres diagonales, il suffit d'observer que, dans le triangle AEF, AH, DE, FB, sont trois transversales, menées des sommets, à un mémo pointe. Donc (TIi.XVI, Rem. IV) DBG et AC!I partagent harmoniquement £F.

De même, dans le triangle ABD, CB, CA, BD sont trois transversales issues d'un même point C. ; donc la base BD est partagée harmoniquemeni par les droites CA , EF, aux points I, G.

Enfin, dans le triangle ABC, DA, D6, DC sont trois transversales issues d'un même point D; donc la base AC est partagée burmoniquement par la transversale UB et par la droite EF.

Dans tout (juadniatère inscrit ABCD, le point de rencontre I des dia'jonaks AC, BD, et les points de concmrs P, Q des colét opposés, forment un triangle dont chaque sommet est le pôle du côté opposé.

Menons la droite PQ : cette ligne forme, avec PA, PD, PI,

' un faisceau liarmonique (Tb. LU);

donc la corde AD est partagée barmoniquemenl aux points Q,E. Pour la même raison , la corde CB est partagée harmoniquement aux points Q, F. Les points E, F, conjugués harmonique du point Q, appartiennenl à la polaire de ce point (Th.

XXV). Cette polaire est donc PI.

De même, la droite QI a pour p6le le point P.

DE GtOHÊTBIE ËLÉHENTAISB. 198

Quant & la droite PQ, elle a pour pôle le point I, intersection de QI, polaire de P, et de PI, polaire de Q.

Eemarqwe. Si les droites AD, BC loument autour du point Q , les points I , P se déplacent , mois la droite PI reste fixe, attendu (|u'elle est la polaire du point Q. On conclut, de cette remarque, le mojcn de construire, avec ta régie, la polaire d'tin point.

VhéorèMic LIV.

Dan» tout quadrilatère complet circotmcrit ABCD, chacune des diagonales est la polaire du point d'intersection des deux autres.

Soient G, H, I, K les points de contact des eôlcs du (juadrilatcre avec la circonférence in- ^c^te, Construisons le quadrilatère complet ayant ics points pour sommets.

D'après le tliéorènie précèdent, la droite MN, qui joint le point de rencontre des diagonales Gl, Kll avec le point de concours des côtés opposés IH, KG, est la polaire du point L où se coupent les côtés opposés GH, IK. Mais, d'un autre côté, les sommets B, D du quadrilatère circonscrit sont les |>ôles des cordes de contact GH, IK : donc la diagonale BD est la polaire du point L; c'est-à-dire que les quatre points B, D,N, M sont en ligne droite.

Pour la même raison , les points A , C , L , N sont eu ligne droite ; et il en est de même des points E, F, L, M.

En outre, les points où ces droites se coupent deux à deux sont L, N, M. Donc le point L, intersection des diagonales AC, EF, a pour polaire la diagonale BD ; etc.

ThéArène LV.

Si deux quadrilatère» sont l'un imcrit et l'autre circonscrit à un même cercle , de manière que les sotnmeis du premier soient les points de contact des côtés du second : 1° les points de concours des côtés opposés de ces quadrilatères sont situés sur une même droite; ^ les diagonales du quadrilatère inscrit et celles du qua~ drilalére circonscrit se coupent en un même point, pote de cette droite; Z° les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit sont situés sur tes ^agonalet du quadrilatère circonscrit.

La dûmonstralion de ce (liéoième est renfermée dans celle qui précède.

Th*«rène LVI.

Si une première droite EF partage proportionneltemetil deux côtés opposés AB, CD d'un quadrilatère ABCD, et qu'une seconde droite GH partage proportionnellement les deux autres côtés, citaame de ces droites est divisée, par l'autre , dans le même rapport que les cotés qui déterminent celles<i.

Par le point E, menons CED' parallèle à CD ; menons ensuite, parallèlement à ËF, les droites DD', HH-, ce, GG'; enHn, lirons AD' et BC.

Nous avons, par hypothèse, \E DF

1{ë"^cf'

d'où, à cause des parallèles, AE DE

ainsi [G-, 31 3], les triangles AED', BEC sont semblables, et leurs côtés homologues AD', BC sont parallèles.

DB GÉOMÉTRIE ÉLËHBNTAIRE.

Nous avons aussi, par hypothèse,