AM 4- PN

En effet 9 les quadrilatères ADPE, ACGB étant semblables, les sommes AM -i- PN, AH, de droites homologuesj sont proportionnelles aux droites homologues AP, AG.

II. Si, le point P et la circonférence 0 restant Gxes, on fait tourner BC autour de P, de manière que ce point soit, à chaque instant, la projection du sommet variable A , la dislance PN ne changera pas. Ainsi, la droite DE estj constamment ^ tangente à une circonférence ayant P pour centre.

Soient AP, BQ, CR les hauteurs d'un triangle ABC. On projette diacun des points P, Q, R sur les deux côtés opposés, en D el E, F et G, H et K. L'hexagone DGHEFK, inscrit au triangle ABC, jouit des propriétés suivantes :

1® Les diagonales DE, FG, HK, qui joignent les sommets opposés, sont égales;

DE GÉOBÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 135

2" Leê côtés opposé» sont parallèles ; 3* Les sommets appartiennent à une même circonférence; 4" En outre, cette drcmférence est concentrique avec le cercle inscrit au triangle «Py, formé par les diagonales.

i' Celte propriété a été démontrée ci-dessus (Th. LXIII, Rem. 11).

2* Les triangles rectangles BQA.QGA, CRA, RHA sont semblables ; donc

AC