LXIII
a»,fe
ADE « angle
ACB — anglt
!AHG
et te quadrilatère DEHG est inscriptible.
Le même raisonnement est applicable aux autres parties de la Ggure; ainsi déjà :
Les points D, E, H, G sont sur une circonférence ;
Le trapèze KFGH, dont les diagonales sonl égales (1°), est inscriptible. Donc la circonférence KFEH contient te point G. De
AG = ABcos'A, AH = ACcos'A.
13* TDÉOBÈHE8 ET PRMLÈHBS
même, la circonférence DKFG, qui coïncide avec KFEHG, contient le sommel D.
En résumé, ki six pointi U, G, H, E, F, K sont situes sur vne même circonférence.
i' Si, par le point a, intersection des diagonales FG, HK, on mène une perpendiculaire à BC, celle droite (*), bissectrice de l'angle GaH, serait, relativement au tr^èxe iiucéte FGHK, on axe de aymétrie : elle contient donc le centre de la Gircoti/ifretioe des six pointé. De même pour les bissectrices des angles P, y*
Dam tout quadrilatère inscrit ABCD, les distances MP, MQ, du point d'intersection des diagonales, à deux côtés opposés AB, CD, sont proportionnelles à ces cotés.
Les triangles AMB, DMC, évidemment équiangles entre eux, sont semblables; donc les hauteurs MP, MQ sont proportionnelles aux bases AB , CD.
Dans tout quadrilatère inscrit, ABCD, dont les diagonales iohI rectangulaires, la distance CE du centre, à un côté AB , égaie la moitié du côté opposé (**).
Soit M rinterseciion des diagonales. La droite OE , pei^ndiculaire au milieu de AB, est parallèle k ta droite qui joint lu point M au milieu F de CD (Liv. II, Th. XII). De même, OF,
<'} Non tracée.
('*) SiKG»r, fiouvellet Am
DE GÉOMÉTRIE ÉLËHEKTÂIKE. fSS
perpeadiculaire au milieu de CD, est parallèle à ME. Donc MEOF est un parallélogramme; et, en conséquence ,
OE = MF=iCÏ).
CoHOLLAiBE. Si t'on mène le rayon OB, on a
I ÔB*=OB'+ËB'=i{CDVÀB');
ou , en désignant par R le rayon , ei par a, c les cdiés ÂB, CD :
relation connue (Th. LXI).
Remarques. — I. Dont le pentagone OEBCF : 1' les angle» E, Fionldroit»; i' le» côtéi BE,OF mnt égaux;^* leseotét CF,OE lont égaux; 4* les diagonale» OB, OC sont égalea.
11. Dans le parallélogramme MEOF, soil 1 le milieu commun des diagonales OM , EF. On a
0ëV ÔF'= 2Ë1*+2MÎ*, ou
i (cdV âb*) = lîï V i ôH'î
ou , par le ihéorème qui vient d'être rappelé ;
ËF = 2R*— P,
/ étant la distance du point M au centre 0. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Si le quadrilatère ABCD se déforme, en tournant autour du point fixe M, de manière que les diagonale» AC, BD, supposées rectangulaire», se croisent constamment e» ce point M : 1° tes
milieux des quatre côléa décrivent une circonférence ayant son centre au miiteu I de MO; 3" cAoçtie médiane, telie que EF, eit un diamètre de cette circonférence; 3° le rayon R' de celle-â est donné par la formule
4R'»=âR»— MÔ'C).
TbéarèBW LXix.
Soit ABCD un quadrilatère inscrit, dont les diagonaleê sont rerJangulaires. Si l'on projette, sur les côtés, l'intersection M des diagonales, et qu'on prolonge chaque droite de projection jusqu'à sa rencontre avec le côté opposé au côté perpendiculaire à cette droite .- 1° les huit points ainsi obtenus appartiennent à une même circonférence; 2* le centre et le rayon de celte circonférence dépendent, uniquement, de la circonférence ABCD et de la poti~ lion du point M.
1' Soîl PMP' perpendiculaire à AB, cl QMQ' perpendiculaire à CD. D'après le Théorème de Bralimegupta (Liv. Il, Th. XII), les points P', Q' sonl, respectivemeni, les milieux de CD, AB. Ainsi les quatre points P> Qi P'i Q' appartiennent & la circonférence décrite sur la médiane P'Q' comme diamètre. Un autre diamètre est la médiane R'S' (Th. LXVIII); donc la circonrérence PQP'Q' contient les quatre points R, S, R', S'.
2" Quand les diagonales AC, BD tournent autour de M, le
centre I et le rayon R' de la circonférence des huit points resteot
constants (Th. LXVIII).
{') Si l'oa suppose que A, B, C, D soient des masses ëtcales, se roouTBDt comme il vient d'ftrc dit, il résulte, de ce théorème , que te emlre de gravité dciquatre masitt at imiatiable.
DE GÉOHËTftlE ÉLËHEHTAIRE.
Soit ABCD un qtiadrilatère itucrit, dont le» diagonales sont
rectangulairei. Si l'on projette, tur les côtés, l'intersection M des
diagonales, tes projections A', B', C, D' sont les sommets d'un
quadrilatère circonscripiible et inscriptibk.
\' Les sommets A', B', C, D' apparlienncnt à la circonférence
des huit points (Tli.L!XIX);donc,
le quadrilatère est inscriptible.
2~ Du poinl M, abaissons, sur les quatre côtés, les perpcodiculnircs MP, MQ, HR, MS. Nous aurons (Th. LXIV)
Ainsi, le quadrihlère est circonscrit à la circonférence décrite du point M comme centre, atec r' pour rayon (*).
Remarques. — I. D'après la valeur de r', si les droites PM ,
QM, RM, SM sont prolongées jusqu'à ce qu'elles coupent, en P',
Q', R', S' la circonférence (") décrite du point M comme centre,
avec r' pour rayon, les quadrilatères APCP', BQDQ', CRAR',
' DSBD' sont inscriptibles.
II. Les circonférences circonscrites à ces quadrilatères sont égales entre elles. La valeur commune de leurs rayons est R + ; r'. Deux d'entre elles sont symétriques relativement à la corde commune AC, et les deux autres, symétriques par rapport à la corde commune BD. Enfin , à cause des angles droits en P, Q, B, S, A'B' touche, au point P, la circonrércnce PP'; B'C touche, au point Q, la circonférence QQ'; etc.
(') Od arrive à la mime conséquence en démontrant <]uc les rayons A'H, B'H , ... soDt les bissectrices des angles A', B', .-> (") Non représentée sur la figure.
