V. Il résulte, de ces valeurs

ce qui doit être [G., 196].

Les mêmes choses étant posées que dans le tfiéorème précédent^ les quadrilatères ABGD, A'B'G'D' sont entre eux comme les rayons R, r'.

Soient Q, Q' les aires des deux figures. On a

donc

St Ton /om^ les sommets A , B , C d'un triangle à un point intérieur 0, par les droites AOA', BOB', COC, on a

OA' 0£ OC ÂA^ "*■ BB' "*■ ce ~

Les triangles BAC, BOC, qui ont même base BC, sont entre eux comme leurs hauteurs, ou, ainsi qu'il est aisé de le voir,

DE GÉOHÉTHie ËLËHENTAIRE. ]S»

comme les droites AA', OA' [G., 346, 356J. Ainsi BOC OA' BÂC"ÂÂ'' De même,

AOC OB' AOB OC

ÂBC~BB'' Hcé^œ'

Ces proportions donnent OA' OB' OC' BOC -t- AOC -4- AOB AA' "^BB' ""ce ^ ABC "" *'

Soient, sur le coté AB d'un triangle ABC, D, P, F, P* te» points de contact du cercle intcril el des cercles ex-in»crits : la somme des carrés des distances du sommet A, à ces quatre points, est égale à la somme des carrés des côtés.

Si l'on se reporte au Théorème XX (Liv. Il), on voit que \D = p — a, AP"i=BD=.p-6, AP' = BP = p — c, APs-;).

Or,

(p — «)* + (P — fr)* + (p — c}' + p'

= 4^"— 2p.ap-t-a*+ fc'+c', ou (|> — a)» + {p — 6)' + (p ~ c)' + p' = tt' + 6* -+- c* {■).

Reharqiib. Si l'on prend, sur

I une droite AB, deux points quel~

conques M, N (**), on a, entre

(*) CeUe id€nlité est applicalile ï la Théorie des nombres. (") Moyennant certaines restrictions, ces points peavent élrc situés sur les prolongements de la droite.

r tix diêtmee» AM, API, AB, MN, HB, NB, la relation aH*+ SS'-f- Bri*+ ^6*= Âir+ Bïr+ (AH -*- Wff.

Si d'un point 0, prii dans le plan d'un triangle ABC, on abaîtte des perpendiculaires «tir les trois cotés, on détermine sir segments tels , que ta somme des carrés de trois d'entre eux, qui H'onl pas d'extrémités communes,est égale à la somme des cairès des trois autres.

Menons OA, OB, OC .-nous aurons.

h cause des irîangles rectangles ,

ÔTV rB*=()(7*+ clT,

ÔB'*+ Fr,*= 01^+ Â^',

ÔC*+ ca'=ôb^-*.bv*.

Donc, en ajoutant, cl en supprimant les termes égaux,

Tb*-*- bxV cV=âb'V bc'V ca*.

Remarques. — I. Si l'on représente para, b, c les c6tés BC, CA , AB, et par «, p, y les segments BA', CB', AC, obtenus en faisant le tour de la figure, dans le sens indiqué, on peut écrire ainsi l'égalité précédente.

a« + 6p + ty = l(a' + 6' + c') (1)

11. Tout segment doit élrc considéré comme positif ou comme négatif, selon qu'il est dirigé dans le même sens que la flécJie, ou dans le sens opposé.

Considérons, par exemple, la disposition indiquée sur la figure ci-jointe.

On a toujours

A3V BX'-i- C*A'

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. ui

Mais

CA' = a — a, B'A = 6 — p, C'B«c-4-y; donc

OU, après réduction ,

aaH-6p — cr«:i(a«-+-6«H-r») (2)

La vérification est aussi facile dans les autres cas.

III. La réciproque du théorème est vraie; c'est-à-dire que, si les segments a, (3, y satisfont à Ut relation (1), A', B', C sont les projections d'un même point 0.

Théorème I«l^Xir.

Si l'on joint le sommet A d'un triangle, à un point quelœnque M de la base BG, on a

Ïb\ cm + ÂC'. BM = (ÂM*+ BM . CM) . BC f).

Abaissons AD perpendiculaire surXC; nous aurons, dans le

triangle AMB [G., 269] ,

ÂB = ÂmV BM*— 3BM.MD;

et, dans le triangle AMC,