I5'=TÊ*+ R' — 2R(EG + GP
(P^IE 4-R' — 2R(EG + r).
Inégalités (1) et (9), ajoutées membre à membre, donnent enfin
rf" = R(R 2r).
Behahque!!. — I. Le rayon R du cercle circontcrii ne peut être moindre çue le diaméh'e du cercle inscrit,
U.Si l'on a, entre les rayons R, r de deux cercles,et la distance d de leurs centres , la relation d* ^ B (B — 2r) , un même triangle peut être inscrit au premier eercle, et circonscrit au second.
Cette réciproque importante se vérifie aisément au moyen de la réduction à l'tUisurde.
m. Si deux cercles sont tels qu'un même triangle puisse être
lU THÉORÈMES ET PROBLÈMES
inscrit à Ttin et circonscrit à Vautre, il y a une infinité de triangles qui jouissent de la même propriété (*).
Vhé«rèBie I«YXiril.
Dans tout triangle kBC, la distance X, des centres d'une des drconférences ex'inscrites et de la circonférence circonscrite ^ est moyenne proportionnelle entre le rayon R de cèUe^i et la somme de ce rayon et du douô/e du rayon a delà première.
Le centre l' du cercle ex-inscrit^ opposé à Tangle A, est Tintersection de la bissectrice AI et du prolongement de la corde FC, perpendiculaire à la bissectrice GIE de Tangle C. On vient de voir que les angles EAI , GIF sont égaux , donc leurs compléments IAF,irC sont égaux; et AF= TF. Enfin, un calcul semblable au précédent conduit à la relation :
On en conclut, par un simple changement de lettres :
Théorème I.mXVill
Dans totU triangle,un côté quelconque est moyen proportionnel entre la somme des rayons des cercles eooinscrits , tangents aux prolongements de ce côté, et V excès du rayon du troisième cercle circonscrit, sur le rayon du cetxle inscrit.
(*) Poncelct a étendu ce théorème au cas d'un polygone et de deux coniques : si un polygone de n calés est inscrit à une conique et circonscrit à une conique, il y a une infinité de polygones satisfaisant à ces deux conditions» Lorsque les coniques sont des cercles, la question est encore assez di£Bcile pour avoir occupé divers Géomètres, parmi lesquels on peut citer Euler, Fuss, Steiner, Jacobi et M. Mention.
DE GtOHÉTBIE ËLËHEnTjLIRE. ItS
Reprenons la figure et les notations employées page 46. La demi-corde CP est moyenne proportionnelle entre A"P et A'P. Ainsi, en muliipliant par i :
Remarquée. — I. Si l'on a égard k la relation
d'où résulte
py -t- y« -*- a?
on trouve
„, •■lP*r)'
Pr * r- -1- "P
ConséquemmeDl,
si l'on pose
Sr-n-« + .p-D',
i4« rmtâmÈMËS et wmomiMKS
les edlés a^b^ c mmi donnés, eo fooeiioD des rayons a, p, y, ptr les formules
il. On en eondul :
S9r ^« 2itd
puis, T désignant Taire du Uiangie:
ou
formule connue [G., Î89].
Dans /ou/ triangle, la somme des carrés des distances com^ prises entre le centre du cercle circonscrit et les centres des cercles tangents aux trois côtés, est égale à douze fois le carré du raym du cercle circonscrit.
D après les Théorèmes LXXVI et LXXVII,
Mais(Liv. II, Th.XXIII):
Tfeéariwe LXXX.
Datu tout iTiangle, le carré de la distance D, comprise entre le centre'du cercle circonscrit et le centre des moyennes distances, est égal au carré du rayon de ce cercle, moias le neuvième de la tomme des carrés des côtés.
Le Théorème III , appliqué au (riangte ABC , donne
5R» — ÏBVîdV C[»V SD*.
Mai8(Liv. [,Th. II),
AD = -AA', BD= -BB'.etc;
donc
âdVbd*+cd*
De plus [G., S7I}, on sail que la somune des carrés des médianes est les trois quarts de la somme des carrés des calés. Gonséquemment,
Âï>' + "bD* VcD* = - (o* + 6» + c») ;
CoROLLAiBE. Si H cst le point de concours des hauteurs (*), on a (Th. V) :
OHb30D<=3D; puis
sa*— 9R» — (a» + 6' + c^.
(') Non réprimé si
Ainsi, dans tout triangle, le carré de la dùtatwe eompriiê entre te point de concours des hauteurs et le centre du cercle dramscrit, est égal à neuf fois le carré du rayon de ce cercle , moins la somme des carrés des côtés.
Dans tout triangle, la somme des carrés des distances des som~ mets, au centre du cercle inscrit, est égale à la somme des carrés des côtés, augmentée de trois fois le carré du rayon du cercle inscrit, et diminuée du carré du demi-périmètre.^
On a, en désignant par S celle somme,
S e= âdVbPV CF*+ Sr*.
Mais(Liv. II.Th. XX):
A\) = p — a, BF^p — fc, CF = p — c; donc
ou , par une identité connue (Tb.
LXXllI) :
S = a* -I- 6* + c* -*- 3r* - pV
Remarque. Si l'on représente par T l'aire du triangle, on s T = pr, T»=.p(p — o)(p — 6)(p — c),
^^lp-a)lp^b)ip~c) j,.^b,^^^^±[G.,ml
Par conséquent ,
S = a' + A* -»- f* — 4p» + S(6c -I- en + afc) — 5
DE €;iOMÉTRlE ÉLÉMENTAIRE. U9
OU
S = 6c -t- ca-Ha6 — 3 — •
Enfln, si Ton emploie la relation
on trouve
Ainsi :
S 8=s a6 -H 6c -h ca — i2Rr.
Thé«rèaM I.X1LUI.
Dans tout triangle, la somme des carrés des distances des som^ mets, au centre du cercle inscrit, est égale à la somme des rectangles des côtés, diminuée de douze fois le rectangle des rayons du cercle inscrit et du cercle circonscrit.
Tlié«rèHie LXIKXIII.
Dans tout triangle, la somme des carrés des distances des sommets, au centre d'un cercle ex^inscrit, est égale à douze fois le rectangle des rayons de ce cercle et du cercle circonscrit, plus le rectangle des côtés adjacents à l'angle auquel est opposé le cercle eX'inscrit , moins la somme des rectangles de chacun de ces côtés et du troisième.
Un calcul analogue à celui qui précède conduit aux relations
S« «- I2R« -4- 6c — (6 -1- c)a, S, = iSRp -^ca — ic-^- a)b, S,= l2Rr -*- a6 — (a -♦- 6)c.
Dans tout triangle, la somme des carrés des douze droites qui joignent les sommets aux centres des cercles tafigents aux trois côtés, est égale à quarante^huit fois le carré du rayon du cercle circonscrit.
En eiFet, à cause des deux derniers théorèmes,
Mais (Liv. II, Th. XXIII),
donc
Retnarque. Nous avons trouvé (Th. LXXIX) :
Conséqucmmcnt : la somme des carrés des droites qui joignent les sammets d'un triangle, aux centres des cercles tangents aux trois côtés, est égale à quatre fois la somme des carrés des distances comprises entre les mêmes centres et celui du cercle circonscrit.
Dans tout triangle, le carré de la distance A , comprise entre le centre du cercle inscrit et le centre des moyennes distances , est égal au carré du rayon de ce cercle, augmenté des deux netwièmes de la somme des carrés des côtés, et diminuée du douzième du carré du périmètre.
Soient : I le centre du cercle inscrit, D le centre des moyennes distances. Le Théorème III, appliqué à D, donne
ÂiV Ëf 4- Cï* = XdV BD"-i- cdV ZA\
DE GÉOMÉTRIE ËLtHBRTAlttE. 1S1
Mais (Th. LXXX et LXXXI) :
Ai'+Br+ Cî'=S
= o* -I- 6' + c* + SH — p\
ÂD'-h'BD'-hCd'
= !(.-* 6-.. ■); donc
A<= H+ -(a* H- 6'+ 0 - -li'.
Remarque. Si l'on remplace r* par
(p — oXp — fc)(p — c) , b6c
.1^ i '-!- = p« + fte + CB + ai
on trouve, toutes réductions Tailes,
9(a-».6 + c)ji'=-
— (o'+ 6»+ c») + «(fii-H t> -». î((?-t- o*)6 -t- 2(o'+ 6»)c — 9al.c.
ThtorèMe I.XSXTl,
Zhitu tout triangle, le carré de la distance 3 , comprise en^ le centre du cercle intcrit et le point de cùncouri des hauteurs , est égal à qttatre fois le carré du rayon du cercle circonscrit, plus deux fois le carré du rayon du cercle inscrit, moins la demi-tomme des carrés des cotés.
Soient :
0 le centre du cercle circonscrit;
1 le centre du cercle inscrit;
D le centre des moyennes distances; H le point de concours des hauteurs.
Soient encore :
OD = D, 01 = d, ID = A, IH = J.
Le Théorâne IJIXV, appliiiaé m trinffeOU^dMs kqoel
Dafllctirs (Th. LXX\1, LXXX, de.) :
doue
iT = 4IP -♦- 4llr + 3r*. — jP.
Pour amplifier le seeood membre, rappdoos-noiis que r*= — ;f -4-6e-«-ca-«-a6 — 4Rr (Th. LXXU , ile«.) :
DOfU trOUTQDS
Bemarques sur Us deux derniers Théorèmes. — I. En gnanl par Af > A^, Aj» d|, d,* ^Sf 1^ quantités analogues à A, d, rebtÎTes aux eerdes ex-inserits^ on trouve aisément les formules suivantes :
Aî = «« + 4(«*-^ ** -*• ^' -*• ^<«* ^ «^ - *^)'
aO O
i\^W + a»'— i (a? + ft» + O.
6l==W ■*■ ip* — -{tf + fc* + o.
(*) Cette formule a été donoée par M. Mention (iVouoe/let Jnnaies, L V, p. 404).
m GÉOMtTRIE tLÉMENTÀlRE. 155
