II. Des valeurs de A, A^ , A, , A,, on eonelut

A» + Aï 4- Aï 4- Aî=«« + p« ^- y« + r»-»- j(a« -I. fc« + c^.

III. Des calculs semblables à celui que nous avons indiqué cidessus (Th. LXXXV, Rem,) y donnent encore

9(6 -^ c — a)AÎ = a»— 6»- c»— 2(6«H- Oa 4- 2(c»-*- a«)6 4- 2(o* 4 6')c 4- 9a6c.

9(c -4-a-~b)Aï»

V — c»— o»— 2(c«-4- c«)6 4- «(o'-#- 6»)c -4- 2(6^-4- c«)a 4- 9«ftc,

9(o + 5— c)AÎ = c» — a'— 6»— 2(o* 4- 6*)c -♦- 2(6« -i- c*)o ^ 2(c« h- a'j6 -♦- 9a6c;

ely par conséquent,

(64-c— a)AÎ -♦- (c-i-a — 6)Aî ♦- (a -hô — c)Aî — (a -4-6-1- c)A*= 4a6c.

Dans ^ou( triangle, les carrés des rayons des cercles tangents aux côtés, augmentés des carrés des côtés , donnent une somme égale à seize fois le carré du rayon du cercle circonscrit.

D^aprés le Théorème LXXVIII :

D'un autre côté (Liv. Il, Th. XXIII) :

(«^p + y-r)«=i6RS ou

a» 4. p*H- rV rV 2(«p H- pr -^ ray—^a + p -4- r)r = I6RI (4)

IM THÉOBteES £T MUmÈME&

Ajoutant, wiemtrt à tmemhrtj les égriités (1), (î), (3)» (4), on iroinre

i^+ è^H- c»+ f* + ^-4- JP + r"= I6R«0-

Vimotne du rmfom du eerck ùuarii à tu» frûm^fe, est égal à la êomme des moerwn des trois kmUemrs.

Soient, eomme précédemment, a, 6, c les e6tés d'un triangle; soient a', 6', c' les hantears correspondantes. En conservant les autres notations, on a

n = aa' =W = cc' ^{a -♦- 6 -h f)r; doù

Dans cette suite de rapports égaux , le dernier antécédent est égal à la somme des trois autres ; donc

Bemarque. On sait que l'inverse du rayon du cercle inscrit est égal à la somme des inverses des rayons des cercles exHnscrits [G., 389); donc aussi

(*) Démonstration donnée par M. Bosei {Nouveite Ccrrespondance Mathé* moIffiM, t ll,p. 973X

DE GÉOMÉTRIE ÊLËHENTAIRE.

Thé«i«MC I.SXSIX.

Si d'un point A, pris dam le plan d'un angle yOx, on mine de» transversale» AB, AB', AB", ..., (eji points D, D', D", .,. où concourent les diagonales des quadrilatères BC, BG", ..., sont situés sur iitte même droite passant par le sommet de l'angle.

Dans le quadrilatère BCB'C, la diagoDstc B'C est parUgée

harmoniquement

aux points D, E

(Th. LU); donc

OA, 0>j, OD, 0*

forineni un faisceau

harmonique. Il en

est de même pour

OA, Oy, OB', Ox.

Donc les droitesOD,

OD' coïncident. Ce

qui démontre la proposition.

Remarques. — I. Si le point A se déplace sur OA, la droite OD ne change pas. Si, au contraire, OA se déplace, OD tourne autour du point 0. C'est ce qu'on exprime en disant que te point A est un pôle de la droite OD : celle-ci est la polaire du point A. De même, le point D est un pAle de OA; et cette droite est la polaire de D.

II. Dans un faisceau harmonique, tout point de l'un des rayons est un pAle du rayon conjugué, relativement à l'angle formé par les deux autres rayons.

Si les côtés d'un triangle ABC coupent une circonférence 0, de manière qu'il y ait, sur chaque côté, deux segments déterminés par un sommet et la courbe, le produit des six segments obtenus en

IW THtOkËXES ET KOlUlIBS

faûantle tour de bify/uredatu un ieiu,e$tig^ au promût obtenu en faisant le tour en mm contraire.

On a , par la propriété des sécaiiies qni se coupent hors d'un cercle :