OA 0B

ÔF~ÔÂ''

donc les irjangles OAB, OB'A',

qui ont un angle égal compris

enire calés proportionnels, sont

semblables. Par suite

r-*'Âô:ôB

Remaripte tur Ut figures réàproques. La théorie dont nous venons d'indiquer les premières notions peut, aussi bien que la théorie des polaires réciproques , faire découvrir aisément un grand nombre de tliéorèmes, auxquels il serait difficile d'arriver par d'autres voies. Pour montrer un exemple remarquable de cette application du principe général de la trarufitrmation de» figures, prenons ce théorème très-simple :

Si, à un cercle C, ituerit à un angle xOy, on mine une fangente intérieure AB, le triangle OAB a un périmètre constant (Liv. Il, Th. XIX) ; et construisons la figure réciproque de OABCD. par rapport à un cercle ayant pour centre le sommet 0; et dont le rayon soit R.

i* La 6gure réciproque du cercle CD est un cercle CD'* inscrit 6 l'angle aOy (Th. XCIV).

3* La figure réciproque de AB est une circonférence OA'TB',

DE GtOMËTftlE ÉLÉMENTAIRE, laS

qui ■ son centre sur OC, et qui louche le cercle C au point T', réciproque du point de contact T.

3' La relation

OA + OB + AB K 3p

devient, par le dernier diéorëme,

ou, plus sim[ilemcnt,

OB' + OA' -t- A'B'

ÔFÔS """""■

i" Di^signons par T l'aire du triangle OA'fi' et par r le rayon du cercle inscrit à ce triangle. Nous aurons

T-=iOA'.OB'sinxOy» j(OB'-HOA'-t- A'B')r; donc l'égalité précédente équivaut &

r a eonttanîe.

Ainsi, fu«//e qve toit la langenle AB, ^e triangle OA'B' est cir~

tonttrit à tme circonférence fixe I (*), tnsfrtVe à l'angle xOg. Les

(*) Non tracée sur !■ figure.

i64 THtORftlIBS ET PROBLÈMES

tangentes extèriewreê^ à cette eirconférencé, sont lès cordes A'B' des circonférences variables OA'B', tangentes è la circonférence fixe C'iy . Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

VkéMrèaM XCTII.

Sif à un cercle I, inscrit à un angle xOy, on mène une tangente extérieure quelconque A'B', la circonférence circonscrite au triangle OA'B' est tangente à une circonférence fixe C, inscrite à l'angle xOy (*).

Vhé«rèHM XCTIII.

Deux polygones quelconques, de in côlés^ sont équivalents qua»ul leurs côtés ont les mêmes milieux (**).

Soient P, P' deux de ces polygones. Joignons, par des droites, les sommets de P aux sommets correspondants de P': ces droites sont égales et parallèles; car elles forment, avec les demi-côtés des polygones, des triangles symétriques deux à deux. Prolongeons ces mêmes droites jusqu*à leur rencontre avec une droite Af perpendiculaire à leur direction commune : la droite A » leë lignes de jonction, et les côtés des polygones, déterminent des trapèzes équivalents deux à deux. Les polygones P, P', étant composés d*un même nombre de parties, respectivement équivalentes, sont équivalents.

(*) Ce remarquable théorème est dû à M. ManDheim, ainsi que les considérations précédentes.

(**) Ce théorème, ainsi que celui de la page tl, est dû à Prouhet La démonstration suivante a été donnée par M. l^abbé JuUien (Nouvetleê jémuUeê, tome X).

DE GtOHtTRIB ÊUtMBK TAIRE.

Soit A'B'C la droite de Simton, relative à un point JA et à un triangle ABC.

1° Le» dislance» de M, aux points A, B, C, A', B', G', satisfont aux relations :