AM "" B'M

Ainsi, les triangles rectangles AMO, B'MO' sont semblables, ou, ce qui est équivalent, équiangles.

V On déduit, de cette similitude,

OM AO O'M ""BHV'

Les dislances OM, O'M étant dans un rapport constant, le lieu du point M est une circonférence qui divise harmoniquement la ligne des centres [(?., 316],

Remarques. — L La réciproque du théorème est vraie: si les angles AMC, A'MC sont égaux, les cordes AB^ A'B' sont égales.

IL Les six triangles AOD, OMA, B 0 D', O'MB', AMP, B'MB sont semblables.

Théorème Cl ^*).

Sur le diamètre AB d'un demi-cercle, on construit un rectangle dont la hauteur AC égale le côté du carré inscrit. Si Conjoint les sommets C,D àun point quelconque M de la demi-circonférence, par les droites CM, DM, coupant en E, F le diamètre, on a

âT-i- bè'=âb\

(*) Attribue h Fermât, par Euler.

168 THiORfeMES ET PROBLÈMES

Première démonitration. Tirons les cordes MA, MB, ei prolongeons ces droites jusqu'à ce qu'elles rencontrent, en 6, H, les prolongements de CD. L'angle GMH, inscrit au demi-cercle, est

droit; donc les angles G; H sont complémentaires ; ei, par conséquent, les triangles rectangles GCA, BDH sotit semblables. Ainsi,