HA' DA

ce problème auxiliaire ne présente aucune difficulté.

Cela posé, si nous menons A'P et B'N, nous formons un triangle A'B'C, semblable au triangle ABC; car ces triangles ont, par hypothèse, deux angles égaux, chacun i chacun. Il suffit donc, pour achever la construction, de faire les angles ADF, BDE, respectivement égaux à A'UP, B'MN : on obtient ainsi les sommets F, E.

Construire un triangle, connaissant les trois hauteurs. Désignons par a, 6, g, les côtés du triangle, et par a', b', c', les hauteurs correspondantes. Nous avons aa' = bb' •:= ce' ;

196 THÉORÈMES ET PRCHILÈllES

d'où

Celle proportion continue apprend que le triangle cherché est semblable à celui dont les côtés seraient 6% a', et une quatrième proportionnelle à e', a\ b'. Si Ton construit ce triangle auxiliaire, il sera facile ensuite de tracer le triangle cherché , en observant que, dans deux triangles semblables » les hauteurs correspondant aux côtés homologues sont des droites homologues.

Remarque. Le problème est possible , si Ton peut construire le triangle auxiliaire. Admettons que Ton ait a' > 6' > cf, d*où