IL
a' < ^. Alors la condition de possibilité est
Construire un triangle, connaissant deux hauteurs et le rayon du cercle inscrit.
Soient : a^ 6' les hauteurs données; a, 6, les côtés inconnus correspondants ; c, le troisième côté ; r, le rayon du cercle inscrit.
L*aire du triangle est représentée par chacune des trois expressions ,
too', 466', i(a-f-6 + f)r;
donc
aa' =B 66' = (a 4- 6 H- c)r ;
d*où
a 6 a -fr- 6 -^ c
On voit j par cette proportion continue, que le triangle cherché est semblable & celui dont deux côtés et le périmètre seraient 6', a', et la quatrième proportionnelle à r, a\ b\ Le problème peut donc être regardé comme résolu.
DE GtOMÉTRIE ÉLÉMENTAIAE. 197
Construire un tria$igle, con$iais8ant la kauteurlfk' abaissée sur le côté inconnu a» le rayon r du cercle inscrit, et le rayon a du cercle ex-inscrit, tangent au côté a.
En raisonnant comme dans le problème précédent , on a
d abord
aa' «s (a -h 6 •«• c)r = (6 -»- c — a)a.
On déduit y de ces deux égalités ,
. aa' . aa'
puis f de celles-ci :
a' âVr «/
Cette équation de condition entre a', r et a nous apprend que :
Dans tout triangle, l'inverse de chacune des hauteurs est égale à la demi-différence entre l'inverse du rayon du cercle inscrit, et IHnverse du rayon du cercle eoD'inscrit, opposé à cette hauteur.
Conséquemment aussi :
ToiM les triangles dans lesquels les rayons du cercle inscrit et de l'un des cercles ex-inscrits sont constants ^ ont même hauteur.
En revenant au problème proposé, nous voyons qu*il est tndéterminé ou impossible, selon que les données satisfont ou ne satisfont pas à la relation
a' 2 \r al
rr«Mèaio X¥II1.
Construire un triangle, connaissant la hauteur a' abaissée sur le côté inconnu a, et les rayons ^, y des cercles ex-inscrits, tangents aux côtés h, c.
Nous avons, par les diverses expressions de Taire du triangle aa' sa{a+ c — 6)j3 «a (a -«- 6 — c)y ; puis 9 par un calcul semblable au précédent :
aa' aa'
et
Ainsi, (/ans /ou/ triangle ^ l'inverse de chacune des hauteurs est égale à la demi-somme des inverses des rayons des cercles exinscrits , adjacents à cette hauteur.
Construire un triangle, connaissant les rayons a, ^, y des trois cercles ex-inscrits.
On a, comme précédemment,
d^où
On déduit, de cette proportion continue,
Ainsi, le triangle cherché est semblable à celui qui aurait pour côtés
DE GÉOMÉTRIE tLËHEnTAISE. 199
Si l'on coDstruit ce triangle auiiliaire, et que l'on décrive les trois cercles qui le toucbeat extérieurement, il suffira, pour avoir le triangle cherché, de mener des parallèles aux côtés du triangle auxiliaire, à des distances des trois centres respectivement égales à a, p, y,
rraMtaM SX.
Construire un triangle, connaissant le rayon r du cercle inscrit , et les rayons «, ^ ds deux des trois cercles ex-inscrits.
Ce problème se résout aussi facilement que le précédent, et par les mêmes considérations.
rr«MfaMe SSI.
Décrire une àreonférence qui passe par deux points donnés A , B, et qui touche une droite donnée CD. Soit 0 le centre de la circonrérence demandée, et soit E le
I point de contact de celte circonTérence avec la droite CD. Menons AB, et prolongeons celte droite jusqu'à sa rencontre avec CD, en F.
La tangente FE est moyenne proportionnelle entre FA et FB; donc le point E se détermine aisément. Ce point étant connu, on obtient le centre par l'intersection de EO perpendiculaire à CD, avec GO perpendiculaire au milieu de AB.
Remarque. Le problème admet ordinairement deux solutions. Pour qu'il soit possible, il faut que les points A, B soient d'un même eâté de CD.
Décrv-e une circonférence qui passe par deux points dfmnét A , B, et qui touche une circonférence donnée I.
900 THtOBfelIBS ET FRMlAn»
Soit E le point de contact de la eiroonférence demandée O avec la cireonféreoce donnée I. Soit F le point où la droite AB rencontre la tangente conunune EF. Si Rons me»
Dons une sécante quelconque PDC , nous aurons
