FD.FE—FA.FG

d'où, i cause de l'égalité précédente,

FB'.FK' = FA.FG.

SOS THtOEÈMES ET FROBtfellES

Ainsi, les quatre points A , H', K% G sont situés aussi sur une même circonférenee.

Cansiruciion. — Après avoir mené la ligne des centres » et avoir eonstruit le centre de similitude F, on trace AF. Par les points A, H', K', on ftît passer une circonférence» laquelle coupe AF en un point G. II suffit ensuite de faire passer, par les points A y G, une circonférence qui touche Tun des deux cercles donnés (Prob. XXII) : elle touche aussi raulre, et satisfait à la question (^

Remarque. Par les points A , G , on peut faire passer deux circonférences tangentes au cercle B. D*un autre c6té, si, dans la construction précédente, on substitue le centre de similitude inverse au centre de similitude directe^ on doit remplacer le point H' par le point H. On trouvera donc, au lieu du point G, un certain point G'. Si, par les points A, G', ont fait passer deux circonférences tangentes au cercle B, elles satisferont encore à la question. Celle-ci peut donc admettre quatre solutions.

Nous laissons au lecteur le soin d^examiner dans quels cas le nombre des solutions est inférieur à quatre.

Décrire une circonférence 0 qui passe par un point donné A, et qui touche une droite donnée BG et une circonférence donnée 1.

Soit E le point inconnu où la circonférence cherchée touche la droite BG , et soit D le point de contact des deux circonférences. Menons 01 , qui passe par ce point D ; traçons le rayon OE; menons, par le centre donné I, la droite FIKH perpendiculaire & BG ; enfin, tirons les cordes ED, FD, DK.

(*) Alors qu*il était élève à TÉcole polytechnique, Caachy a donné une autre solution de ce problème, fondée sur le Théorème XVll du Livre II, théorème qui parait appartenir à Tillustre Géomètre. Voyez Correspon' daneetur VÉcoU polytechnique, 1. 1, p. 493.

DE GtOHËTRIE tLËHEnTAinE. 905

Le riyon OE, perpendiculaire à la tangente BC, esl parallèle & IP; donc les angles EOD, FID sont égaux, comme alternes internes, et . les triangles isoscèles EOD , FID sont

semblables. Par suite, les points E, D, F sont sur une même ligne droite.

De là résulte que l'angle EDK est droit, parce qu'il est supplémentaire de l'angle FDK, inscrit à un demi- - cercle.

Le quadrilatère EDKH, ayant deux angles opposés droiu, esl inscriptible. On a donc

FD.FB=»FK.FtI.

Soit G le point où la droite connue AF rencontre la circonEérenoe cherchée 0. On a aussi