HN=PQ«1R

Conséquemmeni, si Ton mène des parallèles A'B', A'C aui droites AB, AC, qui en soient distantes d'une longueur égale au rayon IR de la circonférence donnée, ces parallèles seront tangentes à la circonférence 01.

On est donc ramené à trouver le centre O d'une circonférence passant en un point donné I , et tangente i deux droites données A'B',A'C(Prob. XXllI).

Remarque. Si l'on construit les droites A"B", A"C, symétriques de A'B', A'C par rapport k AB, AC, respectîveilient, on pourra trouver deux nouvelles circonférences auxiliaires passant en 1, et tangentes à A"fi", K"C". Le problème comporte d<H)c, au plus, quatre solutions (*).

(') Dêas h Journal d» PÉeole polj/lethnigu* (H' Cahier, p. IBS), le pr»blimedoDt il s'agit est place parmi ceux qui ont huit solutîona. Cette légère inadTerlRnee ne dimiauc en rien la valeur du célèbre Hémoire de Gaultier.

Pi«MtB« SXTII.

Décrire une circonférence tangente à une droite donnée PQ et à dewc circonférences données AN, BM.

Il peut arriver plusieurs cas : 1' la circonférence cherchée peut toucher exiérieuremeot les circonférences données; 3* elle peut les loucher intérieurement; 3° elle peut toucher l'une d'elles intérieurement et l'autre extérieuremeol.

Soit , pour fixer les idées , 0 le centre d'une circonférence tangente & la droite PQ et tangente, exténeuremenl, aux circonférences données. Décrivons, du point O comme centre, une circonférence passant j par le centre A du plus petit des I cercles donnés ; elle touchera la ctrconrérence décrite du point B, comme I centre, avec un rayon fiF égal ii la difTérence des rayons donnés; elle louctiera aussi la droite P'Q' menée parallèlement à PQ, à une distance de cette droite égale au rayon AD de la peute circonrérence. La question est donc ramenée au Problème XXV.

Remarque. Des quatre circonférences satisfaisant à ce dernier prohiéme, il n'y en a que deux qui conduisent & des solutions de la question proposée ; ce sont les circonférences tangentes, esté* rieurement, au cercle BF. En effet , si l'on considère une circonférence O' passant en A , tangente k P'Q' et ayant, avec le cercle fiF, un contact intérieur, une circonférence concentrique avec C peut bien toucher le cercle AD et la droite PQ; mais elle ne louche pas la circonférence BC.

Si l'on remplace P'Q' par la droite P"Q", symétrique de P'Q' relativement à PQ, et que l'on conserve la circonférence auxiliaire BF, on trouve deux autres cercles satisfaisant à la question.

Enân, les droires P'Q', P"Q", successivement combinées

9M THËORJËHES ET PROBLÈMES

avec une circonférence décrite du point B comme centre, et dont le rttyoo soit BC -i- AD, donneront encore quatre soluUoni du problème. Le nombre de ces solatktiu peut donc s'élever h

Décrire une circon/ërvm» fan$renfe à trois circonférencet données A, B, C.

Première solution. Soit 0 le centre de la circonrérencc demandée, et soient M, N, P les points de contact inconnus. Menons OA, OB, OC. Décrivons, du point 0 comme centre, une circonférence qui passe par le centre B du plus petit des cercles donnés , et qui coupe les rayons OA, OC, aux points D, E : elle sera tangente aux cercles qui seraioit décriu des points A, C comme centres, avec AD, CE pour rayons. La question est donc ramenée i celle-ci : décrire une circonférence OB qui passe par un point donné B, et qui touche deux circonférences données.

Ce dernier problème a été résolu ci-dessus : il admet quatre solutions, parmi lesquelles deux, seulement, peuvent conduire à des solutions du problème actuel.

En remplaçant les cercles AB,CEpar deux cercles ayant pour rayons, respectivement, AM-t-BP, CN -H BP, et en conibinaol deui & deux ces cercles et les deux premiers, on trouvera les six autres circonférences qui satisfont à la question.

Seconde solution. L'élégante solution qu'on va lire est due en partie i Bobillier, en partie à Gergonne; elle est extraite, presque textuellement, de la Géométrie du premier de ces savants professeurs.

Les circonférences données peuvent èirc touchées toutes trois extérieurement ou toutes trois intérieurement; chacune peut être touchée extérieurement ei les deux autres intérieurement, ou bien intérieurement et les deux autres extérieurement.

As GfOHÉTRIE ËLËHENTAIRl.

Deux circonférences qui déterminent, sur chacune des trois ârconférences données , un contact esiérleur et un contact intérieur , sont appelées circonférences conjuguées.

Considérons les circonférences conjuguées abc,a'b'c, qui touchent les circonférences données, l'une extérieurement et l'autre inlérieurement. Le point de contact a' est le centre de similitude directe de a't/c'i aa'a"; le point de contact a est le centre de s rmil itude inverse de abCfOa'a". Donc la droite aa' doit passer par le centre de similitude inverse de abc, a'6'c'. Il en est de même pour bb' et pour ce. Par conséquent, ces trois droites concoureni en un point o, qui est ce centre de similitude. De plus.si Ton prolonge aa' en s, et ce' en t, les droites os et oa', ot et oc' sont homologués; d'où résulte

a08 THÉORÈMES ET PROBLÈMES

OU

os.

oe'»

\ot.

On

a aussi

oe

oa;

et,

par conséquent,

oc.

>oe' =

=^oa

.oa' '

Le point 0 est donc le centre radical des circonférences données (*).

La droite 06, passant par le centre de similitude inverse de a6c, aa'a'\ et par le centre de similitude inverse de abCt WV^ doit contenir le centre de similitude directe de aa'a"^ Wb". Il en est de même pour a'b\ Donc m est ce centre de similitude. De même, m' est le centre de similitude directe de 66'6'', cc'c''; enfin m" est le centre de aa'a'\ cc*c". Donc mm* m" est Taxe de similitude directe des trois circonférences données.

A cause de la relation oa^oa^'^ococf, les quatre points a^a'^ c, c', sont situés sur une même circonférence; donc

m*'a • m"& =» fn"o'.m' V.

Ainsi, le point m" appartient à Taxe radical des deux circonférences cherchées. On prouverait , de la même manière , que les points m' et m" appartiennent à cet axe; d*où Ton conclut que mm'm"f axe de similitude directe des circonférences données , est en même lemps Taxe radical des deux circonférenees conjuguées.

Puisqu'il en est ainsi , les tangentes en a et a' doivent se couper en un point x situé sur cette droite; et il en est de même des tangentes en 6, 6^, et des tangentes en c, c'.

La polaire du point x est aa' ; donc le pôle p de mm'm' doit se trouver sur aa'. Ainsi, les pôles de Vaxe de similitude directe des trois circonférences données, par rapport à cAoctme d'elles, sont placés , respectivement , sur les trois cordes de contact aa', bb', ce'.

(*} On a vu, ci-dessus, une partie de cette démonstration (Th. XCI).

De là celte conslruction : 1® tracez l'axe. de similitude des trois circonférences A , B , C ; 2® cherchez les pôles de cet axe, par rapport à chaque circonférence; Z"" joignez ces pâles p, p', p" au centre radical 0.

En remplaçant Taxe de similitude directe par chacun des trois axes de similitude inverse, on obtient les trois au 1res couples de circonférences conjuguées.

Décrire une circonférence 0 passant par deux points donnés AfBt et interceptant, sur un cercle donné G, une corde DE ayant une longueur donnée.

Faisons passer, par les points A, B, une circonférence quel-

concpie ABFG, qui coupe en F, G la circonférence donnée C. Les cordes AB, FG, et la corde inconnue DE, se coupent en un même point I , centre radical des trois circonférences. Ce point étant obtenu par la construction précédente, il suffira dVnscrirey au cercle donné C , une corde DE , de longueur donnée, passant par le point I.

Problème XXX.

Décrire une circonférence I , qui passe par deux points donnés A, B, et qui coupe, suivant un diamètre ^ une circonférence donnée O.

Ce problème peut être regardé comme un cas particulier de celui qui précède. On peut aussi le résoudre directement, comme il suit.

Si Ton joint le point A au centre 0 de la circonférence donnée, et que Ion prolonge AO

«10 THÉORÈHBS ET PROBLÈMES

jusqu'à sa rencontre, en E, avec la circonrérence I, on aura