OB.OA-=OC.OD==R

On obtient donc le point E en construisant une troisième proportionnelle DE & la droite AO et au rayon R du cercle donné.

Prafelèwc XVSI.

Par un point A , extérieur à un cercle 0, mener une droite ABC qui loit partagée, en moyenne et extrême raiton, par la circonférence.

{' Supposons d'abord que la corde BG soîl le plus grand des deux segments de la droile ABC, de manière que

p*=AC.AB.

Si nous menons la tangente AD, nous aurons

■au' = ac.ab.

On déduii, de ces égalités, BC = AD; en sorte que la question est ramenée ù un problème connu.

Pour qu'elle soit possible, AD ne doit pas surpasser le diaoïèuv du cercle. Celte condition équivaut à

ÔA*— ÔB' ^ 4ÔD';

d'où, en désignant par R le rayon du cercle et par d la distance OA ,

2' Adnietlons que le segment extérieur AB soit moyen proportionnel entre la sécante entière AC et te segment intérieur BC ; nous aurons

ÂB* = AC.BC; et, en menant encore la tangente AD,

ÂC'=iAC.AB.

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 9il

La première égalité équivaut à la proportion

AC AB

ÂB ~ AC — AB '

Multiplions tous les termes par AB, et remplaçons AG . AB par AD ; nous aurons

ÂD* IB*

AB* ad'— AB*

Cette nouvelle proportion démontre que te carré de AB est moyen proportionnel entre le carré construit sur la tangente AD et la différence des carrés construits sur AD et AB; c'est-à-dire que, pour trouver AB, il faut partager, en moyenne et extrême raison, le carré construit sur la tangente; puis chercher la moyenne proportionnelle entre les deux dimensions du plus grand des segments.

On simplifie cette construction en observant que, dans tout triangle rectangle AFD, les carrés des côtés de Tangle droit, et le carré de Tbypoténuse, sont entre eux comme les projections AE, DE et AD. Si donc Thypoténuse est partagée en moyenne et extrême raison au point E, nous aurons

âd'^aP'

AF* DF*' ou