OP OE

CF "ËF*

R étint lé rayon. La condition de possibilité est donc

mMènie X.XXI1I.

A un cercle donné O, inscrire un trapèze ABCD ayant une hauteur donnée h, et équivalent à un carré donné m*.

Menons le diamètre OEF perpeitdiciilaire aux bases, ei le rayon OIIL perpendiculaire au côté BC du trapèze : le point H est le milieu de ce càlô. Joignons ee point au milieu G du côté opposé, par la droite UMG. Enfin, traçons LN parallèle à GII. cl CP perpendiculaire à celle droiie.

Le trapèze a pour mesure GH.EFi donc la longuecir de GH esl^.

La question se réduit 6 déterminer le milieu L de l'are BC, ou la longueur de LN. Or, les triangles LNO, HMO sont semblables; donc

De même, les triangles LNO, CPH sont semblables, et don-

ËlevaQt au carré et ajoutant, on trouve MB +CF=0C ^— -l

d'où

THËOnfclieS ET PHOBLiHBS

Ainsi, la droite cherchée LN est Thypolénuse d'un triangle dont les côlés de l'angle droit seraient î et g . Cette droite est donc connue.

Trouver, »ur une droite donnée MN, un point C tel, que la tomme de ses dîslancet à deux pointi donnés A, B, moU égaie à une longueur donnée I.

Supposons la droite inconnue AC prolongée d'une longueur CD égale à CB ; nous aurons AD = / ; en sorte que le point D appartient à la circonrérence DD' décrite du point A comme centre, avec l pour rayon.

Si nous abaissons BGH perpendiculaire à MN, et que nous prenions GH = GB, les obliques BC, IIC seront égales entre elles; d'où il résulte que te point cherché C est le centre de la circonférence passant par les points B, H , D. De plus, les circonférences BDH , DD' se louchent en D; car ce point D est sur la ligne des centres.

On a vu précédenimcni (Prob. XXII) comment on détermine une circonférence tangente à une circonférence donnée, et passant par deux points donnés. Conséquemmeni , on est conduite la construction suivante :

Du point donné A , comme centre, avec / pour rayon, on décrit

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. f15

la circonrérence DD'. D'un point quelconque IV de la droite donnée MN, comme centre, on décrit une circonférence passant au point donné B, et coupant la première circonférence aux pointa E9 F. On mène la corde EF, que Ton prolonge jusqu'à sa rencontre, en T, avec BH perpendiculaire à MN. On construit les points de contact D, D' des tangentes menées , du point T, à la circonférence DD'. Les rayons AD, AD' déterminent, parleurs intersections avec MN, deux points C, C, qui satisfont à la question.

Discussion. 1* Lorsque le point H, symétrique du point B par rapport à la droite MN, est intérieur à la circonférence DD% on peut, par ces deux points, faire passer deux circonférences qui touchent la première. Donc le problème admet deux solutions.

^ Si le point H est sur la circonférence DD', il se confond avec le point de contact D, et le problème n admet plus qu'une solution. En même temps, le point C, qui se trouve en I, à rintersection de AH avec MN, est le point de cette dernière droite pour lequel la somme des distances aux deux points donnés est un minimum (Liv. 1, Prob. X).

3** Enfin, quand le point H est extérieur à MN, le problème proposé est impossible.

Remarque, On sait que le lieu des points tels, que la somme des distances de chacun à deux points fixes A, B, soit une constante /, est une ellipse ayant A , B pour foyers, et dont le grand axe est égal à /. Conséquemment, le problème que nous venons de résoudre peut être énoncé en ces termes : construire les points de rencontre d^une droite donnée et d'une ellipse non tracée, mais dont le grand axe et les foyers sont donnés.

Pr»Mème ILXXT.

Trouver f sur une droite donnée MN, un point C tel, que la différence de ses distances à deux points donnés A , B , soit égale à une longueur donnée I.

SI6 THÉOnÈMES ET PROBLÈHES

L'analyse de ce problème est ta même que celte du problème précédent. Elle donne lieu h la construction indiquée dans la figure ci-conirc.

Remarque. On sait que le lieu des poinli lels, que la difTérence des distances de chacun à deux points fixes A, B, soil une constante t, est une hyperbole ayant A, B

pour foyers, et dont t'axe tranaverse est égal k t. Conséquem«

ment, le problème que nous venons de résoudre peut être énoncé

en ces termes :

Con«(r«ire tes points de renconire d'une droite donnée et d'ttne

hyperbole non tracée, mais dont l'axe Iransverse et let foyers

lonl donnés.

Problime XXXVI.

Par l'extrémité A d'un diamètre AB perpendiculaire à une corde CD, mener une droite dont la partie FG , compme entre la corde et la circonférence, ait une longueur donnée I.

Si nous menons le^^ cordes AD, GD, nous formons deux triangles FAD, GAD, ayant l'angle A commun, et dans lesquels les angles en G et en D sont égaux, comme ayant pour mesures les moitiés d'arcs égaux. Ces triangles sont donc semblables; en sorte que AF.AG=.Âir.

D'après celte relation, AF et AG sont les cAtés d'un rectan^ équivalant au carré construit sur AD.

Construction. A rextrémité D de la corde AD, élevons la perpendiculaire DH égale à /; puis, sur cette droite, prise comme diamètre, décrivons une circonférence. Joignons le centre I avec le point A, par la sécante Al, qui rencontre cette circonférence en M, N. Du point A comme centre, avec AM pour rayon, décrivons un arc : il coupe, au point cherché G, la circonférence donnée.

Remarques. — I. Si la longueur donnée l est moindre que EB, il y a, indépendamment de AGF, une droite AF'G' répondant & la question. On obtient l'extrémité G' de cette ligne au moyen de Tare décrit du point A comme centre, avec AN pour rayon.

II. A chaque droite, telle que AF ou AF', il en répond une autre, placée symétriquement par rapport à AB, et qui n*a pas été indiquée sur la figure. Le problème peut donc admettre quatre solutions.

Problème XXXirii.

Par un point A , extérieur à un cercle 0, mener une sécante telle, que la somme des carrés des segments BC , AC de cette droite^ soit équivalente à un carré donné m^.

Soit AT la tangente menée par le point donné A. Joignons le

point de contact T aux points inconnus B, C; et menons CD parallèle à BT. Si le point D était trouvé, la construction s'achèverait facilement; car les triangles ADC, ACT, évidemment semblables, donnent

ÏC*=AD.AT.

Ainsi, AC serait une moyenne proportionnelle entre AD et AT.

Pour déterminer ÀD, observons que les parallèles BT, CD, donnent

BC ^ DT ÂC""ÂÏ)'

THtOtltUZB ET PKOBLÊHES

ÂïT

A cause de l'égalité ct-dessus, cette valeur se réJuii à

AD La somme des carrés de AC et de BC doit égaler m*; donc

Prenons maintenant une droite EP, troisième proportionnelle I à AT et m. Décrivons , sur EF comme diamètre, une demi-ci rconfèrencf; menons la tangente EG = EH = AT, et lirons GH.

Du point M, où cette droite coupe la circon- ' férence, abaissons HN perpendiculaire i EF : le segment EN est la longueur cherchée AD. En efTet, nous avons d'abord

EN

-t- iNH =