ÉQUATION FONDAMENTALE DE LA TBRRMODYNAVIQUE

changements 0 de la température soit négligeable. Ainsi, notre énergie interne U, exprimée au mojen des ^, ^ et 0, se composera, du moins dans une première étude, d'une partie élastique, 0, dépendant seulement des déformations ^, tj, avec lesquelles elle s'annule, et d'une partie calorifique V, fonction seulement de la température 8.

âol. Équation fondamentale de la Thermodynamique. — il est temps maintenant de revenir à notre équation des forces vives (p. i4 0» pour en éliminer le plus possible les éléments du mouvement visible et la rendre, par là, propre à nous renseigner sur Tagitation invisible, ou, plus précisément, sur le changement élémentaire de la température, puisque celle-ci définit cette agitation dans ses caractères généraux.

Appliquée à une simple particule M, fluide ou solide, l'équation dont il s'agit contient à son premier membre, avec la varialion élémentaire MûfU de l'énergie interne MU, la diflerentielle, relative au temps, de la demi-force vive du mouvement visible, lequel se confond très sensiblement avec le mouvement du centre de gravité de la particule. Mais l'accélération du centre de gravité est produite par la résultante de toutes les actions eflTectives exercées du dehors, censées appliquées au centre de gravité même, où Ton aurait accumulé toute la masse M. Ainsi, la différentielle de la demi-force vive en question, relative au mouvement visible, égale le travail des actions extérieures, poids et pressions, dans le mouvement du centre de gravité. Or ce travail figure justement au second membre, mais pour le mouvement visible total et non pas seulement pour celui du centre de gravité. Si donc on supprime, au premier membre, la différentielle de la demi-force vive du mouvement visible, pour n'y laisser subsister que le terme MrfU, il faudra ne laisser subsister, au second, du travail total du poids et des pressions, que la portion relative au mouvement visible de la particule par rapport à son centre de gravité. Alors le poids, qu'on peut supposer appliqué au centre de gravité même, donne un travail nul; et il reste seulement le travail des pressions.

De plus, l'état physique variant peu dans l'étendue d'une particule, les pressions sur des éléments plans parallèles quelconques n'y éprouvent, d'un point à l'autre, que des variations de l'ordre

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des dimensions mêmes, ou très petites du premier ordre; et l'on peut remplacer, sur chaque élément de la surface, ces pressions par leur valeur, au centre de gravité, sur un élément plan égal et parallèle (valeur fonction de l'état physique existant en ce centre), plus une petite différence, de l'ordre du rayon de la particule. Sur toute la surface, qui est du second ordre, la somme absolue de ces petites différences est donc du troisième; et la somme de leurs travaux durant un instant dt^ pour les déplacements visibles évalués par rapport à des axes d'orientation constante se croisant au centre, est au moins du quatrième ordre en petitesse, quand on la rapporte à Tunité de temps; car les déplacements dont il s'agît seront au plus, dans un temps quelconque, comparables aux dimensions de la particule. Or, au contraire, le travail de la partie principale des pressions (celle qui correspond à l'état physique du centre de gravité) est de l'ordre de la somme totale de ces pressions respectivement multipliées par les déplacements dont il s'agit, ou du troisième ordre, comme l'est également la somme des flux de chaleur entrés par la surface et comme l'est aussi, à raison de son facteur M, l'énergie interne MU ou, par suite, sa variation dans l'unité de temps.

Nous appellerons dxB le travail élémentaire des pressions, censées ainsi réduites, par des altérations très petites, à ce qu'elles seraient sur les divers éléments de la surface si l'état physique était, sous ces éléments, ce qu'il est au centre, ou se trouvait uniforme dans toute la particule. Ce travail pourra d'ailleurs être évalué, à l'occasion, dans le mouvement visible tout entier et non dans le mouvement relatif à des axes d'orientation constante menés par le centre; car l'hypothèse d'un état physique uniforme assure l'équilibre exact des pressions sur toute la surface de la particule (*), de sorte qUe, transportées au centre de gravité, les pressions réduites comme on l'admet donnent une résultante nulle et, par suite, un travail nul dans le mouvement effectif du centre.

Appelons rfQ la somme des flux de chaleur entrés dans la particule durant un instant dt\ et l'équation des forces vives, ainsi

(*) Cette proposition, presque évidente, sera d'ailleurs établie rigoureusement dans la noie qui termine le numéro suivant.