POUR UNE PARTICULE OÙ COEXISTENT MOUV, YISIBLE ET AGITATION CALOR

réduite à trois termes, sera

C'est V équation fondamentale de la Thermodynamique. On la démontre, d'ordinaire, pour une masse fluide d'étendue finie, et non pour une particule quelconque, mais en faisant abstraction de la pesanteur, et en produisant assez lentement la compression ou la détente du fluide pour que le mouvement visible ait sa demi-force vive constamment négligeable (*). Comme cela suppose réalisés, à chaque instant, Téquilibre du fluide et, par conséquent, TuniCormité de sa pression, l'égalisation des pressions convenue dans le calcul du terme rfCs s'y trouve loute faite. Mais la démonstration ainsi donnée n'est pas générale, puisque la formule (i) à laquelle elle conduit subsiste, du moins pour une simple particule, dans le cas de mouvements visibles coexistant avec l'agitation calorifique, non moins que dans celui, auquel on s'y borne, de l'équilibre.

252. Le travail d^ des pressions qui y figure est un travail de déformation ou relatif au changement des dimensions de la particule. — Il est bon d'observer que, dans la formule (i), le travail rfG des pressions réduites ou uniformisées est un travail correspondant à la déformation ou, du moins, au changement de dimensions de la particule, et non à la rotation qu'elle peut éprouver en même temps autour du centre de gravité; car ce dernier travail serait nul. En eflet, l'hypothèse de pressions égales sur les éléments plans parallèles entraîne la neutralisation exacte, dans tout mouvement d'ensemble soit translatif, soit rotatif, de celles qui s'exercent sur la surface, c'est-à-dire l'annulation non seulement de leurs composantes suivant un axe quelconque, mais aussi de leurs moments relatifs à cet axe.

On le voit immédiatement dans le cas d'un fluide, où une même

(') Au n* 249 (p. i43) nous avons, il est vrai, admis l'extrême lenteur, généralement réalisée, du mouvement relatif visible (ou moyen local) des divers éléments de notre particule, les uns par rapport aux autres, comparativement aux vibrations calorifiques; mais une telle lenteur n'empêche nullement, chez la particule, les grandes vitesses de translation, pouvant donner lieu, dans un corps d'étendue notable, aux rapides déformations de la masse.

l5o TRAVAIL DE DÉFORMATION DES PARTICULES,

pression normale p s'exerce alors, par unité d'aire, sur tous les éléments ûf<T de surface de la particule, ou du volume w ^considéré. Appelant a, p, y les trois angles d'une normale dn à rfo-, menée vers le dehors, examinons, par exemple, les composantes,

— p cosa rfd,

suivant les x positifs, des pressions extérieures.

Si nous divisons le volumes en filets prismatiques élémentaires parallèles auxx, nous pourrons prendre pour éléments dfi les faces limitant ces filets à leurs deux bouts et dont le produit par cosa exprime, en valeur absolue, la section droite, que j'appellerai e, des filets. Aux deux bouts d'un même filet, les pressions suivant les X seront donc respectivement /?€, — /?e : exactement égales et opposées, elles ont bien leurs projections totales, sur un même axe, nulles, leurs moments totaux nuls ef enfin, dans tout déplacement où la longueur du filet sera invai^iable, leur travail total nul(«).

(*) Expression générale du travail dîsi et démonstration analytique de la même équation fondamentale. — Dans le cas d'un corps quelconque^ les composantes, que j'appellorai /?^, p^y /?,, de la pression exercée sur Tuoité d^aire des éléments d^ , admettent, en fonction des trois cosinus directeurs ros(a, P, y) de la normale dn, des expressions plus générales, que l'on démontre au début de la Théorie de l'élasticité. Ce sont les formules

p,-= N^cosa -+-T, cosp -h T^ cosy,

(a) /?^:rz T, cosa -h N^ cosp H T, cosy,

, p^ -z Tj. cosa -t- T^ cos P -î N^ cos y,

oix N,, N , N,, T^, T , T, désignent les composantes suivant les axes, au nombre (le six distinctes, des pressions exercées, aux mêmes points {x,yyZ)y sur les trois éléments plans b>^ ,ta , u^ perpendiculaires aux axes. Le cas d'un fluide, à pression /?, s'en déduit par les hypothèses N^^^ N^= N,— — /?, T^— o, T = o, T, — o.

La supposition d'un état ph5'sique uniforme rend ces six composantes N, T indépendantes de x^ y, z.

Cela posé, la composante totale et le moment total, relatifs, par exemple, à Taxe des ar, des pressions (p^d^^p dvyp^dv) exercées sur les divers éléments dv

de la surface 9 limitant le volume a, seront / jo^rfff et / {yp^— zp^.) d^^ c'est-k-dire

<a') N, / cosac^<J4- T, / cospc?<n- T^ / cosyda

DANS UN FLUIDE ET DANS UN CORPS QUELCONQUE. l5l

253. Expression de ce travail d^ pour une particule fluide. — Dans le même cas simple d'un fluide à l'étal élastique, le travail rfÇ s'évalue aisément. La pression normale et uniforme/?, à y considérer, donne la force pda^ sur chaque élément matériel d<j de

(«') AV'-T.-)cosarfa-+- AT,>'^N^5)cos?c/îy-, f{\y-'ï^z)cos^d^.

Transformons, dans ces expressions, les intégrales de surface en intégrales de volume, par la formule générale que nous avons eu plusieurs fois l'occasion d'appliquer et qui, si ç désigne une fonction continue quelconque de a:, y, z, est

Il faudra faire successivement, dans les divers termes de {a') et (a'),

Il viendra bien, identiquement, pour (a'), zéro et, pour (a"), T^o — T^o, c'està-dire encore zéro.

Un procédé analogue permet de former simplement, pour une particule ou même pour un volume a quelconque, l'expression générale du travail d^.

Soient u, Vj iv les composantes, fonctions continues en or, ^, Zj de la vitesse actuelle du mouvement visible. Les déplacements, suiVant les axes, durant un instant dt, de l'élément quelconque dv de surface, seront u dt, v dt, w dt; et l'on aura, pour le travail des trois composantes />^c/ff,j»rf<j, p^ds de la pression qu'il supporte, dt{p^u -i-p^v -hp^w)d9. Le travail total d(B sera donc

{b') de I {p^u-{-PyV-i p^w)d<j,

ou bien, parla substitution à />^, /?y, />, de leurs expressions («),

I dt JiN^U'^ T^v-i-TyW)cos3idv

j dt I {r^u-\ "S^v \ T^w)cos^ da-hdt / (T^i/4 T,f -i N,tv)cosYrfa.

Transformons, par la formule (6), les inlégrales de surface en intégrales de volume, sans oublier que les N, T sont ici rendus constants; et nous aurons

dw

S'il s'agit d'une simple particule, les dérivées continues de w, v, w auront très sensiblement même valeur dans tout son intérieur, et la formule cherchée sera

l52 TRAVAIL DK DÉFORMATION DES PARTICULES.

la surface. Or celui-ci, sensiblement égal et parallèle à luimême pendant un instant dt^ envahit, durant cet instant, l'espace extérieur à la particule, en parcourant, suivant la normale à rfo", tirée vers le dehors ou en sens inverse de la force, un

enfin

dw

Bref, V expression du travail dlB, rapporté à P unité' de volume de la particule et à r unité' de temps, se confond avec le seœtinome

du , dv , dw fdv div\ ^ / dw du\ /du dv\

Quand le corps est fluide, ou que les T sont nuls et les N égaux à — jo, le sextinomc se réduit à

/du dv dw\ ^ \dx dy dzj

Or la condition dile de continuité (en M3'drodynainiquc) nriontre que le trinôme

p' multipliant — /; a pour valeur — '^ > où p' est la dérivée, par rapport au temps /,

de la densité p de la particule. D'ailleurs, la masse constante M de celle-ci est le

produit de la densité par le volume m; et la difl'érentiation en t de l'égalité pc7 = M

cj' p'

permet de substituer — à - - •

CT p

Le travail d^ devient donc, pour une particule fluide,

(c') •" rfG - — pm' dt :=—pdmy

ou le produit, au signe près, de la pression par l'accroissement élémentaire du volume. C'est précisément ce que nous donnera, au numéro suivant (p. i53), une démonstration purement géométrique.

Il suffirait de transformer par la même mélhode l'expression générale {b") du travail des pressions, mais sans y uniformiser celles-ci, c'est-à-dire en attribuant aux forces N, T leurs grandeurs efl'cctives fonctions de x, y^ z, pour avoir sa valeur dans le mouvement visible absolu, ou telle que le contenait l'équation des forces vives d'où nous sommes partis (p. 14») dans celte Leçon. Cette valeur comprendra, outre les termes de l'expression (6*), constituant e/(^, l'ensemble de ceux que donne la difl'érentiation des N, T en x^ y^ -s, savoir

Or, si l'on y joint le travail élémentaire

pXc/ci.u dt-\-^\ dm,v dt->r pZ dtn.wdt^