TRENTE-TROISIÈME LEÇON

DE l'agitation CALORIFIQUE OU INVISIBLE, DANS LES CORPS ANIMÉS DE MOUVEMENTS VISIBLES DE DÉFORMATION OU DE VIBRATION : ÉQUATION FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE.

247. Retour à l'équation des forces vives démontrée dans la deuxième Leçon. — Nous nous sommes borné jusqu'ici, sauf dans la deuxième Leçon, à considérer un corps solide, n'éprouvant aucun autre mouvement visible de déformation, ou vibratoire, que les faibles dilatations provoquées par son échauffement même et dont nous pouvions faire abstraction. Essayons maintenant de mettre en équation les phénomènes, si fréquents, où coexistent au contraire des mouvements visibles et le mouvement calorifique.

On a vu dans la deuxième Leçon (t. I, p. i4 à 28) que, d'une part, Ténergie actuelle s'y compose de la demi-force vive afférente au mouvement visible et de celle, dite chaleur sensible, correspondant à l'agi talion calorifique (telle qu'elle se fait autour des situations moyennes actuelles des particules à l'époque t)\ que, d'autre part, l'énergie potentielle s'y compose, dans tout corps d'assez médiocre étendue pour que l'attraction newtonienne mutuelle de ses diverses parties soit négligeable, d'une énergie interne purement élastique, fonction de la configuration moléculaire moyenne du corps (ou énergie évaluée en supposant chaque molécule fixée dans sa situation moyenne) et d'une énergie calorifique, dite chaleur potentielle ; enfin, que le travail extérieur comprend les travaux, dans le mouvement visible, du poids du corps et des pressions exercées sur sa surface, plus les Jlux de chaleur entrés par les divers éléments de celle-ci. Or groupons ensemble, dans l'équation des forces vives où elles se trouvent

RAPPEL DE l'équation DES FORCES VIVES OU DE L'ÉNERGIE. T^l

ajoutées, la chaleur sensible, la chaleur potentielle et l'énergie purement élastique : nous en ferons une somme appelée simplement énergie interne, à raison soit de ce fait qu'elle est cachée dans les divers fragments du corps, et n'apparatt pas comme mouvement visible, soit du caractère qu'elle a (ï être propre aux parucules, ou proportionnelle, dans chacune, au nombre des fragments pareils la composant. Alors l'équation des forces vives, telle que l'établit la deuxième Leçon, s'énoncera en disant que, dans le corps considéré (supposé athermane et sans source intérieure de chaleur), la somme de Vénergie actuelle du mouvement visible et de Vénergie interne a pour variation, d^un instant à l'autre, le travail, dans le mouvement visible, du poids du corps et des pressions exercées sur sa sur/ace, accru des flux de chaleur entrés par cette surface,

248. Ce qu'est Tétat élastique de la matière. — En général, dans une particule matérielle soumise à des déformations perceptibles qui changent d'une certaine manière sa figure visible, la disposition intérieure des molécules n'est pas tout à fait, à un moment donné quelconque du mouvement, ce qu'elle deviendrait plus ou moins vite et resterait définitivement, si la déformation visible s'arrêtait à ce moment donné; car les groupes moléculaires de la particule se rangeraient alors, de la manière la plus simple et la plus stable, dans remplacement total qui leur serait ainsi assigné, et il leur faudrait un certain temps pour le faire. A une même disposition relative des centres de gravité des groupes moléculaires de la particule, disposition suffisante pour définir la configuration visible actuelle, correspondent donc, suivant la manière dont celle-ci a été amenée, une infinité de configurations internes ou invisibles, à éléments innombrables, dont une seule est celle qui se produirait et subsisterait si le mouvement visible était suspendu, et dont l'une ou l'autre, se réalisant à la suite de tel ou tel enchaînement d'états visibles successifs, dépend non d'un seul état visible, mais, directement, quoique à des degrés divers, de l'infinité des états qui ont pu se succéder, en eflet, dans un certain ordre. Autrement dit, se donner le mouvement visible (moyen local) de la particule, ou les situations successives de ses fragments 5a/^/55a6/e^, ne suffit pas pour pouvoir, à chaque

l42 CE QU'bST l'état ÉLASTIQUE DE LA MATIÈRE.

instant, construire idéalement la particule en fonction de la configuration visible au même instant, y ajoutât>on la connaissance parfaite des rapports qui lient l'invisible au visible; puis^ qu'une infinité d'états visibles successifs peuvent influer, pour des parts distinctes, sur chaque configuration moléculaire interne (même abstraction faite de l'agitation calorifique, ou en imaginant les molécules maintenues dans leurs situations moyennes).

Ainsi, se donner les diverses configurations apparentes de la particule équivaut seulement (et encore dans un solide assez peu déformé pour garder inaltérée sa contexture élastique) à se donner les configurations moléculaires qui se réaliseraient et subsisteraient si, comme il vient d'être dit, chacune des figures visibles successives de la particule, une fois produite, se conservait indéfiniment. Dans un fluide, cela n'équivaut même qu'à se donner les configurations isotropes, ou intérieurement pareilles en tous sens., que prendrait et garderait la particule (avec échanges possibles de rôle ou de place entre molécules), si les déformations visibles s'arrêtaient, aux divers moments du phénomène. Les écarts entre la configuration interne vraie de la particule, à chaque instant, et sa configuration idéale d'équilibre intérieur ou de repos pour la place qu'elle occupe alors, croissent, naturellement, avec la rapidité du mouvement de déformation : ils ne s'annuleraient en toute rigueur que lors de déformations visibles infiniment lentes.

Cela posé, dans la plupart des solides déformés entre leurs limites d^élasticité ou sans altération de contexture (c'est-à-dire reprenant leur figure première après suppression des actions déformatrices), et dans les fluides proprement dits ou non visqueux, les écarts dont il s'agit ici, qui empêchent la configuration interne d'une particule d'être la même fonction de sa figure visible actuelle à l'état de mouvement qu'à l'état de repos, sont néanmoins assez faibles, sauf lors de déformations extrêmement rapides; et ils n'ont pas une influence notable, en dehors des phénomènes où s'accuse le petit frottement intérieur des fluides ou des solides. On peut donc, avec une certaine approximation, les négliger et, abstraction faite de l'agitation calorifique, regarder la configuration interne de chaque particule comme dépendant uniquement du changement visible de volume et de forme éprouvé à partir d'un état primitif censé connu, si la particule est solide, ou

TSIPÉRAT., FLUX DE CHAL. ET PRESSIONS, DANS LES CORPS EN MOUYEM. l43

comme dépendant seulement de son changement relatif soit de volume, soit, ce qui revient au même, de densité, si elle estfluide. La particule est dite alors à Vétat élastique, parce que les pressions eiEcrcées sur ses éléments plans sont les forces qualifiées ordinairement d^élastiques.

249. Extension de la notion de température, et des formules des flax de chaleur, aux particules matérielles élastiques, animées à la fois d'agitation calorifique et de mouvements visibles. — Une fois admis ce qui précède (ou les frottements intérieurs censés négligeables), les actions intermoléculaires, étant fonctions de la configuration interne, sont très sensiblement les mêmes que dans la particule maintenue en équilibre apparent ou privée de son mouvement visible; et, par suite, une agitation calorifique quelconque y survenant, ou, plutôt, Tagitation calorifique vraie dont on faisait abstraction, désormais restituée, s'y produisent à fort peu près comme si le mouvement visible n'existait pas, c'està-dire en donnant lieu très sensiblement, pour pareils degrés d^agitation et aux diverses phases du mouvement vibratoire, aux mêmes déplacements de part et d'autre des situations moyennes, aux mêmes actions .et réactions intérieures et, enfin, aux mêmes travaux de ces actions entre molécules que dans la particule à Tétat de repos apparent. D'où il suit : i** que la température, caractéristique du degré actuel de cette agitation dans chaque région de la particule supposée rester en place, le caractérisera ou le définira aussi dans la particule animée de son mouvement visible, lequel altère bien sa figure, mais seulement avec une extrême lenteur relative (vu la brièveté des périodes de l'agitation, de l'ordre du trillionième ou du quatrillionièmc de seconde); et, 2** que les sommes de travaux afférents aux déplacements calorifiques, dites /lux de chaleur, s'exprimeront, en fonction des pentes ou dérivées premières de cette température suivant trois sens rectangulaires, pour les divers éléments plans matériels de la particule en mouvement visible, comme dans la particule en repos apparent. 11 est vrai que, durant un instant rfr, la matière contiguë à l'élément plan de la particule considéré éprouvera un commencement de déformation visible ou moyenne locale et, par rapport à l'élément plan, de légers déplacements; mais ce seront, à côté de l'in-

l44 VARIABLES DÉFINISSANT L*ÉTAT PHYSIQUE, DANS UN FLUIDE PABFAIT,

fluence capitale des pentes de la température, des circonstances insignifiantes, pour l'expression des flux, et seulement propres à altérer les coefficients de conductibilité dans un rapport infinitésimal.

Enfin, pour la même raison, l'énergie interne sera, dans chaque fragment de la particule, la même fonction de la température que si la particule n'avait aucun mouvement visible; et les pressions, ou sommes d'actions moléculaires, exercées sur ses divers éléments plans, seront aussi les mêmes fonctions de la température que dans la particule censée occuper d'une manière permanente son emplacement actuel.

Les considérations qui ont prouvé, dans le cas d'une particule en repos apparent, la quasi-neutralisation des flux de chaleur sur toute sa surface (t. I, p. loo à io5), s'appliquent, sans y rien changer, à une particule qui se déforme ; et il continue à en résulter, en particulier, légalité du flux sortant d^un corps au flux entrant dans le corps contigu, même quand il peut y avoir vitesse finie de glissement des deux couches superficielles de ces corps l'une sur l'autre, comme dans un écoulement de mercure, sur du verre, par exemple.

250. Variables dont dépendent l'énergie interne, les pressions et les coefficients de conductibilité, dans les fluides et dans les solides élastiques. — L'énergie interne, les pressions, les coefficients de conductibilité, fonctions déterminées, dans une même particule à Vétat élastique, de sa configuration visible actuelle et, en outre, de la température en tant que définissant l'agitation, ne pourront donc dépendre que de la densité et de la température, si la particule est fluide; car alors, grâce à la reconstitution incessante de l'isotropie, le volume (lié à la densité) sera la seule circonstance de la configuration visible, qui influe sur la structure moléculaire interne. Nous appellerons :

rn le volume actuel de la particule;

p sa densité et M = pw sa masse;

6 sa température ;

/?, dans le cas actuellement considéré d'une particule fluide, la pression par unité d'aire, normale sur tout élément plan et égale sur les éléments plans se croisant en un même point de la parti-

ET DANS UN SOLIDE ÉLASTIQUE QUE l'oN DÉFORME. 146

ticule OU même, très sensiblement, dans toute son étendue, à raison de la petitesse de ses dimensions;

Enfin, U l'énergie interne de son unité de masse, ou MU^pUm Ténergie interne de la particule, et K son coefficient de conductibilité calorifique, unique à raison de Tisolropic du fluide.

11 est clair que /?, U, K seront trois certaines fonctions de p et de 0, fonctions changeant seulement avec la nature chimique du fluide ou caractéristiques de sa composition. En particulier, Ténergie interne U sera l'analogue de ce qu'était la chaleur totale, par unité de masse, des particules solides considérées jusqu'ici, à dilatation à peu près insensible par la chaleur et que l'on supposait d'ailleurs, du moins dans les solides à température presque uniforme, se faire librement, grâce à l'absence de toute pression notable sur la surface (* ). L'énergie interne comprend, il est vrai, outre la chaleur totale, l'énergie purement élastique; mais nous pouvions faire abstraction de celle-ci, dans nos solides en repos apparent et à surface libre, où elle ne se trouvait pas en jeu.

Passons maintenant à ce cas d'une particule solide, que nous supposerons assez éloignée de son point de fusion pour pouvoir être regardée plutôt comme voisine du zéro absolu, et que nous prendrons, en outre, un peu écartée, par des déformations élastiques, de l'état, dit naturel, où, à la température qu'elle a, aucune pression sensible ne s'exercerait sur sa surface, ni, par suite (vu sa petitesse), sur ses éléments plans intérieurs. Considérons-j trois fibres, ou files matérielles de molécules, sensiblement rectangulaires, se croisant en un de ses points : les trois dilatations linéaires (rapports de leurs allongements effectifs à leurs longueurs primitives), qu'elles auront éprouvées à partir de l'état naturel, et leurs trois glissements relatifs (légers décroissements de leurs angles) seront, en tout, six petites déformations élémentaires, définissant complètement le changement visible de configuration de la particule, comme on le démontre 'dans la théorie de l'élasticité. Si, pour fixer les idées, on suppose ces trois fibres, ou éléments matériels rectilignes, que nous appellerons dsxt ^^r^ ^^*f à peu près parallèles aux axes des ^, ^, z dans tous les états de la

(') Sauf une pression atmosphérique constante, qu'on peut le plus souvent négliger.

l46 PRESSIONS,, ÉNBRGIE INTERNE, ETC., DANS UN SOLIDE ÉLASTIQUE.

particule, leurs trois dilatations se représenteront par i)^, ^^, ^^ et les glissements relatifs (les fibres dsy et ds^y dsz et ds^^, dsx et dsy, par g^:, c^^, cj,.

Le changement interne de configuration de la particule, à partir de rétatnaturelcorrespondantà la température 6 effectivement existante ou donnée, sera donc défini au moyen des six variables ^^^ ^/i De, gj, gj, gr, auxquelles se joindra cette température 8 réglant les effets généraux de l'agitation calorifique. Ainsi, l'énergie interne U de Tunité de masse, les pressions exercées sur l'unité d'aire des éléments plans matériels de la particule, décomposées suivant des directions bien définies dans celle-ci, enfin les coefficients de conductibilité calorifique, figurant dans l'expression des flux relatifs à ces éléments plans, seront certaines fonctions, parfaitement déterminées, de ces sept variables, que nous appellerons, pour abréger, les î), g et 0.

Toutefois, les petites déformations ^, g ne modifient évidemment pas beaucoup la configuration; et, par suite, dans les termes où figurera déjà un facteur très petit, on pourra, avec une faible erreur relative, dans l'évaluation des autres facteurs, raisonner comme si, à température constante, Tétat naturel persistait, ou que les <), g fussent nuls. Par exemple, les coefficients de conductibilité, que mulliplieront les dérivées de grandeur modérée

-r- , seront sensiblement les mêmes dans la particule défor-

mée élasliquement que dans la particule à l'état naturel.

Passons à l'énergie interne U. A l'état naturel où les î), g sont nuls, sa valeur, que nous appellerons alors W^ dépend seulement de la température absolue T, c'est-à-dire de ïo -h 0, où T© désigne la température absolue choisie comme origine de la variable de grandeur modérée 0. Par suite, si les t>, g s'écartent de zéro, la différence U — *l'" sera une certaine fonction 0 des D, g s'annulant avec ceux-ci. Or, on peut admettre qu'aux températures assez basses celte fonction 0 diflere relativement peu de ce qu'elle est, pour mêmes valeurs des D, g, au zéro absolu. Sans négliger entièrement sa variation avec T, nous la supposerons, à une première approximation, assez lente, dans notre solide éloigné de son point de fusion, pour que, lorsque nous remplacerons T par T(,-h 0, la partie de cette variation correspondant aux légers